Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{e^{n}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{e^{n}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos associar ao termo geral
a função contínua, positiva e decrescente
e estudar a convergência de
Passo 2
Verificamos as condições para aplicar o teste da integral:
- Continuidade e positividade: para
, e , logo e é contínua. - Monotonicidade:
Para
temos
e
, então
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Use integração por partes com
,
, logo
,
. Assim
Avaliaremos de
a
:
Logo a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
converge, então a série
converge também. Como mostramos que a integral é finita, concluímos que a série converge.
converge, então a série
converge também. Como mostramos que a integral é finita, concluímos que a série converge.
Resposta
A série
converge.