Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n\ln n}
converge ou diverge, usando o teste da integral. O conteúdo envolvido é o Teste da Integral para séries de termos positivos, e vamos precisar definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com os termos da série para aplicar o teste.

Passo 2

Observamos que o termo \frac{1}{n\ln n} só faz sentido para n\ge2. Logo, consideramos a função
f(x)=\frac{1}{x\ln x},
definida para x\ge2. Vamos verificar as condições do teste da integral:
  1. f(x)>0 para todo x>2.
  2. f é contínua em [2,\infty).
  3. f é decrescente para x>e, pois
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}(\ln x)^{-1}\bigr) =-\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}<0 \quad\text{para }x>e.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral calculando
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazemos a substituição u=\ln x, deonde du=\frac{dx}{x}, e os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty. Assim,
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u} =\Bigl[\ln|u|\Bigr]_{\ln2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln(\ln2) =+\infty.
A integral divergente indica, pelo teste da integral, que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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