Questão 8. Utilize o Teste da Razão para determinar a convergência da série:
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Razão para decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A série é com termos positivos (pois
e são positivos para todo ).
Passo 2
Vou lembrar e explicar o Teste da Razão de forma simples e prática.
O Teste da Razão diz: para uma série com termos
(assumindo
a partir de algum
),
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
(ou ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
A ideia por trás: se cada termo novo é uma fração fixa menor que 1 do anterior, os termos caem geometricamente e somam; se cada termo é maior (razão
), os termos não tendem a zero e a soma explode.
Passo 3
Agora aplico o teste ao nosso termo geral
. Primeiro escrevo a razão entre termos consecutivos:
Explicando cada passo: elevei o fator
com as potências correspondentes e usei que
, para simplificar.
Passo 4
Simplificando a expressão do passo anterior usando
e cancelando
e uma potência de
, obtenho:
Isto é uma expressão muito simples: a razão entre termos consecutivos cresce linearmente com
(dividida por
).
Passo 5
Agora calculo o limite
:
Ou seja, a razão tende a infinito, logo é estritamente maior que
para
grande.
Passo 6
Pelo Teste da Razão, se
(aqui
), a série diverge. Uma observação adicional intuitiva: como a razão entre termos cresce e ultrapassa
, os termos
não tendem a zero — de fato crescem — e portanto a soma não pode convergir (na convergência de séries é necessário que
).
Resposta
A série diverge.