Questão 8. Utilize o Teste da Razão para determinar a convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Razão para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n!}{5^{n}}.
  • A série é com termos positivos (pois n! e 5^{n} são positivos para todo n\ge1).

Passo 2

Vou lembrar e explicar o Teste da Razão de forma simples e prática.
O Teste da Razão diz: para uma série com termos a_n (assumindo a_n>0 a partir de algum n),
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 (ou L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
A ideia por trás: se cada termo novo é uma fração fixa menor que 1 do anterior, os termos caem geometricamente e somam; se cada termo é maior (razão >1), os termos não tendem a zero e a soma explode.

Passo 3

Agora aplico o teste ao nosso termo geral \displaystyle a_n=\frac{n!}{5^{n}}. Primeiro escrevo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{5^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{5^{\,n}}} = \frac{(n+1)!\,5^{\,n}}{5^{\,n+1}\,n!}.
Explicando cada passo: elevei o fator 5 com as potências correspondentes e usei que (n+1)!=(n+1)\cdot n!, para simplificar.

Passo 4

Simplificando a expressão do passo anterior usando (n+1)!=(n+1)n! e cancelando n! e uma potência de 5, obtenho:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{5}.
Isto é uma expressão muito simples: a razão entre termos consecutivos cresce linearmente com n (dividida por 5).

Passo 5

Agora calculo o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5}=\infty.
Ou seja, a razão tende a infinito, logo é estritamente maior que 1 para n grande.

Passo 6

Pelo Teste da Razão, se L>1 (aqui L=\infty), a série diverge. Uma observação adicional intuitiva: como a razão entre termos cresce e ultrapassa 1, os termos a_n não tendem a zero — de fato crescem — e portanto a soma não pode convergir (na convergência de séries é necessário que a_n\to0).

Resposta

A série diverge.

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