Questão 7. Verifique a convergência da série usando Teste de Comparação:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral é
. - A série é com termos positivos para todo
. - Precisa-se usar o Teste de Comparação (ou uma variante dele) para concluir sobre convergência/divergência.
Passo 2
Escolha do método: o Teste de Comparação direto exige encontrar uma sequência simples
tal que
e cuja soma se conheça a convergência, ou então
com
divergente. Aqui, para
grande
se comporta como uma constante sobre
(parece proporcional a
), então a escolha natural é comparar com
(a série
é a série harmônica e diverge). Em vez de forçar uma desigualdade direta, usaremos o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), que é uma forma do Teste de Comparação e costuma ser mais simples e robusta nesses casos.
Passo 3
Lembrete do teste que vamos usar (explicado de forma didática):
- Teste da Comparação por Limite: sejam
e . Se existir
com
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- Informação usada sobre
: a série harmônica
é divergente. (Um argumento rápido: agrupando termos tem-se
, logo diverge.)
Passo 4
Aplicação do Teste da Comparação por Limite escolhendo
e
.
Calcular
Calcular
Agora manipular o quociente para facilitar o limite: dividir numerador e denominador por
:
Tomando o limite quando
das parcelas
e
, obtemos
Passo 5
Interpretação e conclusão final pelo teste:
- Obtivemos
, que é um número finito e positivo ( ). - Pelo Teste da Comparação por Limite,
e têm o mesmo comportamento. - Sabemos que
diverge (série harmônica). - Portanto
também diverge.
Resposta
A série diverge.