Questão 7. Verifique a convergência da série usando Teste de Comparação:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+5}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+5}{n^{2}+4}.
Informações dadas:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{3n+5}{n^{2}+4}.
  • A série é com termos positivos para todo n\ge1.
  • Precisa-se usar o Teste de Comparação (ou uma variante dele) para concluir sobre convergência/divergência.

Passo 2

Escolha do método: o Teste de Comparação direto exige encontrar uma sequência simples b_n tal que 0\le a_n\le b_n e cuja soma se conheça a convergência, ou então a_n\ge b_n com \sum b_n divergente. Aqui, para n grande a_n se comporta como uma constante sobre n (parece proporcional a 1/n), então a escolha natural é comparar com b_n=\dfrac{1}{n} (a série \sum \dfrac{1}{n} é a série harmônica e diverge). Em vez de forçar uma desigualdade direta, usaremos o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), que é uma forma do Teste de Comparação e costuma ser mais simples e robusta nesses casos.

Passo 3

Lembrete do teste que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Teste da Comparação por Limite: sejam a_n\ge0 e b_n>0. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Informação usada sobre \sum b_n: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente. (Um argumento rápido: agrupando termos tem-se 1+\tfrac12+\left(\tfrac13+\tfrac14\right)+\left(\tfrac15+\cdots+\tfrac18\right)+\cdots \ge 1+\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12+\cdots, logo diverge.)

Passo 4

Aplicação do Teste da Comparação por Limite escolhendo a_n=\dfrac{3n+5}{n^{2}+4} e b_n=\dfrac{1}{n}.
Calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{3n+5}{n^{2}+4}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(3n+5)}{n^{2}+4}.
Agora manipular o quociente para facilitar o limite: dividir numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n(3n+5)}{n^{2}+4} =\frac{3n^{2}+5n}{n^{2}+4} =\frac{3+\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{2}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty das parcelas \dfrac{5}{n}\to0 e \dfrac{4}{n^{2}}\to0, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{3+\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{4}{n^{2}}}= \frac{3+0}{1+0}=3.

Passo 5

Interpretação e conclusão final pelo teste:
  • Obtivemos L=3, que é um número finito e positivo ( 0<L<\infty).
  • Pelo Teste da Comparação por Limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
  • Sabemos que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica).
  • Portanto \sum a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+5}{n^{2}+4} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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