Questão 4. Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma série infinita: sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2). A tarefa é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos expressar o termo geral sn como uma soma telescópica, que é uma técnica que facilita ver quais termos se cancelam quando somamos muitos termos. Se a série for convergente, também vamos calcular a soma final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 1n(n+1)(n+2) usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de frações mais simples, que são mais fáceis de somar. Procuramos constantes A, B e C tais que:
1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2

Passo 3

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos igualar as duas expressões:
1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
Expandindo e agrupando os termos, temos:
1 = A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes da esquerda e da direita:
A + B + C = 0 (coeficiente de $n^2$)
3A + 2B + C = 0 (coeficiente de $n$)
2A = 1 (termo constante)

Passo 4

Resolvendo as equações, começamos pela última:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo A na segunda equação:
3(12) + 2B + C = 0 Rightarrow 32 + 2B + C = 0
E na primeira equação:
12 + B + C = 0 Rightarrow B + C = -12
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(32 + 2B + C) - (12 + B + C) = 0 Rightarrow B = -12
Substituindo B de volta:
-12 + C = -12 Rightarrow C = 0
Então, os valores são:
A = 12, B = -12, C = 0

Passo 5

Agora, substituímos esses valores de volta na expressão das frações parciais:
1n(n+1)(n+2) = 12n + -12n+1 + 0n+2 = 12n - 12(n+1)

Passo 6

Podemos fatorar o 12 para simplificar:
12n - 12(n+1) = 12(1n - 1n+1)
Então, a série original fica:
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2) = 12 sumn=1^infty (1n - 1n+1)

Passo 7

Agora, vamos somar os termos desta série telescópica. Escrevendo os primeiros termos:
12( (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + cdots )
Observamos que termos iguais com sinais opostos se cancelam:
12 (1 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + cdots ) = 12 (1 + 0 + 0 + cdots )

Passo 8

Como todos os termos intermediários se cancelam, resta apenas o primeiro termo:
12 times 1 = 12

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 14.

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