Questão 4. Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma série infinita:
. A tarefa é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos expressar o termo geral
como uma soma telescópica, que é uma técnica que facilita ver quais termos se cancelam quando somamos muitos termos. Se a série for convergente, também vamos calcular a soma final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de frações mais simples, que são mais fáceis de somar. Procuramos constantes
,
e
tais que:
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos igualar as duas expressões:
Expandindo e agrupando os termos, temos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes da esquerda e da direita:
Passo 4
Resolvendo as equações, começamos pela última:
Substituindo
na segunda equação:
E na primeira equação:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
de volta:
Então, os valores são:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Podemos fatorar o
para simplificar:
Então, a série original fica:
Passo 7
Agora, vamos somar os termos desta série telescópica. Escrevendo os primeiros termos:
Observamos que termos iguais com sinais opostos se cancelam:
Passo 8
Como todos os termos intermediários se cancelam, resta apenas o primeiro termo:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.