Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar (integrando) é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
O objetivo é obter o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática).
Para funções polinomiais, o procedimento normal é:
Para funções polinomiais, o procedimento normal é:
- Encontrar uma antiderivada
de , ou seja, uma função cuja derivada seja . - Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, se
é antiderivada contínua de em , então
Aqui
é uma função polinomial (contínua), então podemos aplicar essa regra sem problema.
Passo 3
Regra prática para achar antiderivada (aula rápida).
A regra para potências é: para ,
A regra para potências é: para
onde
é a constante de integração. Para uma constante
,
No nosso integrando temos duas parcelas:
e
. Vamos aplicar a regra termo a termo.
Passo 4
Calcular explicitamente a antiderivada
.
- Para
: usando a regra com ,
- Para
: como é constante,
Somando (e ignorando a constante única, que cancela em integral definida), obtemos a antiderivada
Passo 5
Avaliar a integral definida usando
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Calculemos
e
separadamente:
Agora a diferença:
Passo 6
Checagem geométrica e intuição (para aprender a interpretar na prova).
A integral definida representa a área algébrica sob a curva entre
e
: áreas acima do eixo
contam positivas, abaixo contam negativas. Note que
tem raízes em
. No intervalo
temos:
A integral definida representa a área algébrica sob a curva
- Em
a função é positiva (contribuição positiva). - Em
a função é negativa (contribuição negativa).
Se calcular separado:
essas duas áreas somam zero, confirmando o resultado obtido. Isso é útil na prova para conferir que o sinal e a lógica estão coerentes.