\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-1\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar (integrando) é \;x^{2}-1\;.
  • Os limites de integração são a=-2 (limite inferior) e b=1 (limite superior).
    O objetivo é obter o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática).
Para funções polinomiais, o procedimento normal é:
  1. Encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{2}-1, ou seja, uma função cuja derivada seja f(x).
  2. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, se F é antiderivada contínua de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=x^{2}-1 é uma função polinomial (contínua), então podemos aplicar essa regra sem problema.

Passo 3

Regra prática para achar antiderivada (aula rápida).
A regra para potências é: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Para uma constante k,
\int k\,dx = kx + C.
No nosso integrando temos duas parcelas: x^{2} e -1. Vamos aplicar a regra termo a termo.

Passo 4

Calcular explicitamente a antiderivada F(x).
  • Para x^{2}: usando a regra com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
  • Para -1: como é constante,
\int (-1)\,dx = -x + C.
Somando (e ignorando a constante única, que cancela em integral definida), obtemos a antiderivada
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F(x).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-1\right)\,dx = F(1)-F(-2).
Calculemos F(1) e F(-2) separadamente:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-1=\frac{1}{3}-1=\frac{1-3}{3}=\frac{-2}{3}.
F(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-(-2)=\frac{-8}{3}+2=\frac{-8+6}{3}=\frac{-2}{3}.
Agora a diferença:
F(1)-F(-2)=\frac{-2}{3}-\frac{-2}{3}=0.

Passo 6

Checagem geométrica e intuição (para aprender a interpretar na prova).
A integral definida representa a área algébrica sob a curva y=x^{2}-1 entre x=-2 e x=1: áreas acima do eixo x contam positivas, abaixo contam negativas. Note que x^{2}-1 tem raízes em x=\pm1. No intervalo [-2,1] temos:
  • Em [-2,-1] a função é positiva (contribuição positiva).
  • Em [-1,1] a função é negativa (contribuição negativa).
    Se calcular separado:
\int_{-2}^{-1}(x^{2}-1)\,dx = F(-1)-F(-2)=\frac{2}{3}-\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{4}{3},
\int_{-1}^{1}(x^{2}-1)\,dx = F(1)-F(-1)=\frac{-2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3},
essas duas áreas somam zero, confirmando o resultado obtido. Isso é útil na prova para conferir que o sinal e a lógica estão coerentes.

Resposta

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