Questão: Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} é convergente e justifique usando o teste que preferir.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas, e para classificar se é convergente condicional ou absolutamente convergente vamos também usar o Teste da Comparação Limite.

Passo 2

Definimos a sequência de termos positivos
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.
Primeiro, verificamos o limite de a_{n}.
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} = 0.

Passo 3

Mostramos que a_{n} é decrescente. Considere a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\quad x\ge1.
Seu derivado é
f'(x) = -\frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}} <0 \quad\text{para }x\ge1,
logo f é decrescente e, em particular, a_{n+1}<a_{n}.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
é convergente.

Passo 5

Para ver se é absolutamente convergente, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}a_{n}\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.
Usamos o Teste da Comparação Limite com a série harmônica \sum1/n:
\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} =1\neq0.
Como \sum1/n diverge, segue que \sum1/\sqrt{n^{2}+1} também diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.

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