Questão: Determine se a série
é convergente e justifique usando o teste que preferir.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas, e para classificar se é convergente condicional ou absolutamente convergente vamos também usar o Teste da Comparação Limite.
Passo 2
Definimos a sequência de termos positivos
Primeiro, verificamos o limite de
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente. Considere a função
Seu derivado é
logo
é decrescente e, em particular,
.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero), concluímos que
é convergente.
Passo 5
Para ver se é absolutamente convergente, analisamos
Usamos o Teste da Comparação Limite com a série harmônica
:
Como
diverge, segue que
também diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.