Questão: Para que valores de a a soma infinita \frac{a}{1+a}-\left(\frac{a}{1+a}\right)^{2}+\left(\frac{a}{1+a}\right)^{3}-\left(\frac{a}{1+a}\right)^{4}+\ldots converge? Determine essa soma.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\frac{a}{1+a}-\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{3}-\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{4}+\cdots
Esta é uma série geométrica alternada com primeiro termo
A = \frac{a}{1+a}
e razão
r = -\,\frac{a}{1+a}.
Para resolver, vamos usar o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Impondo \bigl|r\bigr|<1, temos
\Bigl|\,-\frac{a}{1+a}\Bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|a|}{|1+a|}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |a|<|1+a|.
Elevando ao quadrado,
a^2<(1+a)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<1+2a \quad\Longleftrightarrow\quad a>-\tfrac12.
Além disso, precisamos 1+a\neq0, mas como -1<-\tfrac12, isso já está fora da região a>-\tfrac12. Logo a série converge se, e somente se,
a>-\tfrac12.

Passo 3

Para |r|<1, a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{n}
é dada por A/(1-r). Substituindo A=\dfrac{a}{1+a} e r=-\dfrac{a}{1+a},
S=\frac{\dfrac{a}{1+a}}{1 - \bigl(-\tfrac{a}{1+a}\bigr)} =\frac{\dfrac{a}{1+a}}{1+\dfrac{a}{1+a}} =\frac{\dfrac{a}{1+a}}{\dfrac{1+a+a}{1+a}} =\frac{a}{1+2a}.

Resposta

A série converge para
a>-\tfrac12
e sua soma é
\frac{a}{1+2a}.

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