Questão: Para que valores de a a soma infinita \frac{a}{1+a}-\left(\frac{a}{1+a}\right)^{2}+\left(\frac{a}{1+a}\right)^{3}-\left(\frac{a}{1+a}\right)^{4}+\ldots converge? Determine essa soma. Passo 1O enunciado pede a soma da série \frac{a}{1+a}-\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{3}-\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{4}+\cdots Esta é uma série geométrica alternada com primeiro termo A = \frac{a}{1+a} e razão r = -\,\frac{a}{1+a}. Para resolver, vamos usar o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica. Passo 2Impondo \bigl|r\bigr|<1, temos \Bigl|\,-\frac{a}{1+a}\Bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|a|}{|1+a|}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |a|<|1+a|. Elevando ao quadrado, a^2<(1+a)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<1+2a \quad\Longleftrightarrow\quad a>-\tfrac12. Além disso, precisamos 1+a\neq0, mas como -1<-\tfrac12, isso já está fora da região a>-\tfrac12. Logo a série converge se, e somente se, a>-\tfrac12. Passo 3Para |r|<1, a soma da série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\Bigl(\frac{a}{1+a}\Bigr)^{n} é dada por A/(1-r). Substituindo A=\dfrac{a}{1+a} e r=-\dfrac{a}{1+a}, S=\frac{\dfrac{a}{1+a}}{1 - \bigl(-\tfrac{a}{1+a}\bigr)} =\frac{\dfrac{a}{1+a}}{1+\dfrac{a}{1+a}} =\frac{\dfrac{a}{1+a}}{\dfrac{1+a+a}{1+a}} =\frac{a}{1+2a}. RespostaA série converge para a>-\tfrac12 e sua soma é \frac{a}{1+2a}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão: Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} é convergente e justifique usando o teste que preferir. Questão: Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} duas séries positivas, com 0<a_{n}<b_{n}. A frase “se \sum a_{n} converge então \sum b_{n} converge” é verdadeira? Justifique sua resposta. Questão: Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} duas séries positivas, com 0<a_{n}<b_{n}. A frase “se \sum b_{n} diverge então \sum a_{n} diverge” é verdadeira? Justifique sua resposta. (SARESP 2013) João e André desejavam fazer caminhadas diárias e planejaram seus treinamentos nas seguintes condições: João decidiu começar caminhando 3 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 2 km com relação ao percurso anterior. André decidiu começar caminhando 7 km no primeiro dia e, nos dias seguintes, aumentar o percurso diariamente em 1 km com relação ao percurso do dia anterior. Todos os dias, após o treino, eles se encontravam e um contava para o outro quanto havia caminhado naquele dia. Certo dia verificaram que, naquele dia, haviam caminhado a mesma distância. A distância caminhada por cada um deles nesse dia foi