Questão: Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} duas séries positivas, com 0<a_{n}<b_{n}. A frase “se \sum b_{n} diverge então \sum a_{n} diverge” é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera duas séries de termos positivos, \sum a_{n} e \sum b_{n}, tais que 0 < a_{n} < b_{n} para todo n. Pergunta se é verdade que “se \sum b_{n} diverge então \sum a_{n} diverge”.

Passo 2

A partir do teste de comparação direta, sabemos que se 0 < a_{n} < b_{n} e \sum b_{n} converge, então necessariamente \sum a_{n} converge. Porém o recíproco — concluir divergência de \sum a_{n} a partir da divergência de \sum b_{n} — não faz parte desse teste e não é garantido.

Passo 3

Para ilustrar, basta um contraexemplo clássico. Tome
a_{n} = \frac{1}{n^{2}}, \quad b_{n} = \frac{1}{n}.
Claramente 0 < a_{n} < b_{n}. Sabe‐se que \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n} diverge (série harmônica), enquanto \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n^{2}} converge (série de p-com p=2>1). Assim, \sum b_{n} diverge mas \sum a_{n} converge.

Passo 4

Como encontramos uma situação em que \sum b_{n} diverge e \sum a_{n} converge, a afirmação dada é falsa: a divergência de \sum b_{n} não implica a divergência de \sum a_{n}.

Resposta

A frase é falsa. Contrariamente ao teste de comparação para convergência, a divergência de \sum b_{n} não garante a divergência de \sum a_{n}; por exemplo, \sum1/n diverge mas \sum1/n^{2} converge.

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