Questão: Sejam
e
duas séries positivas, com
. A frase “se
diverge então
diverge” é verdadeira? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado considera duas séries de termos positivos,
e
, tais que
para todo
. Pergunta se é verdade que “se
diverge então
diverge”.
Passo 2
A partir do teste de comparação direta, sabemos que se
e
converge, então necessariamente
converge. Porém o recíproco — concluir divergência de
a partir da divergência de
— não faz parte desse teste e não é garantido.
Passo 3
Para ilustrar, basta um contraexemplo clássico. Tome
Claramente
. Sabe‐se que
diverge (série harmônica), enquanto
converge (série de p-com
). Assim,
diverge mas
converge.
Passo 4
Como encontramos uma situação em que
diverge e
converge, a afirmação dada é falsa: a divergência de
não implica a divergência de
.
Resposta
A frase é falsa. Contrariamente ao teste de comparação para convergência, a divergência de
não garante a divergência de
; por exemplo,
diverge mas
converge.