Questão: Sejam
e
duas séries positivas, com
. A frase “se
converge então
converge” é verdadeira? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado considera duas séries de termos positivos
e
tais que
e pergunta se a afirmativa “se
converge então
converge” é verdadeira. O conteúdo envolve o Teste de Comparação para séries.
Passo 2
Recordando o Teste de Comparação: se temos
e sabemos que
converge, então necessariamente
também converge. De forma equivalente, se
e
diverge, então
diverge. Porém, não há garantia de convergência de
a partir da convergência de
quando
.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação original é falsa, basta apresentar um contra-exemplo em que
converge,
diverge e ainda assim
.
Passo 4
Defina
Então, para todo
, tem-se
Sabemos que
é uma série geométrica de razão
e, portanto, converge. Já
é a série harmônica clássica, que diverge. Isso contradiz a afirmação “convergência de
implica convergência de
”.
Resposta
A frase é falsa, pois o Teste de Comparação garante apenas que convergência da série maior implica convergência da menor, não o inverso. O contra-exemplo acima deixa isso claro.