Questão: Sejam \sum a_{n} e \sum b_{n} duas séries positivas, com 0<a_{n}<b_{n}. A frase “se \sum a_{n} converge então \sum b_{n} converge” é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera duas séries de termos positivos \sum a_{n} e \sum b_{n} tais que
0 < a_{n} < b_{n}\quad\text{para todo }n,
e pergunta se a afirmativa “se \sum a_{n} converge então \sum b_{n} converge” é verdadeira. O conteúdo envolve o Teste de Comparação para séries.

Passo 2

Recordando o Teste de Comparação: se temos 0\le a_{n}\le b_{n} e sabemos que \sum b_{n} converge, então necessariamente \sum a_{n} também converge. De forma equivalente, se 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum a_{n} diverge, então \sum b_{n} diverge. Porém, não há garantia de convergência de \sum b_{n} a partir da convergência de \sum a_{n} quando a_{n}<b_{n}.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação original é falsa, basta apresentar um contra-exemplo em que \sum a_{n} converge, \sum b_{n} diverge e ainda assim a_{n}<b_{n}.

Passo 4

Defina
a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \qquad b_{n} = \frac{1}{n}.
Então, para todo n\ge1, tem-se
0 < \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{n}.
Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} é uma série geométrica de razão 1/2 e, portanto, converge. Já \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica clássica, que diverge. Isso contradiz a afirmação “convergência de \sum a_{n} implica convergência de \sum b_{n}”.

Resposta

A frase é falsa, pois o Teste de Comparação garante apenas que convergência da série maior implica convergência da menor, não o inverso. O contra-exemplo acima deixa isso claro.

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