a) Verifique que y_{1}(x)=1+x e y_{2}(x)=e^{x} satisfazem a equação homogênea correspondente.
b) Determine W\left(y_{1}, y_{2}\right).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Verificar que as funções y_{1}(x)=1+x e y_{2}(x)=e^{x} satisfazem a equação homogênea correspondente.
(b) Determinar o Wronskiano W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr).
Informações dadas:
y_{1}(x)=1+x.
y_{2}(x)=e^{x}.
Observação: o enunciado fala em “equação homogênea correspondente”. A maneira natural de interpretar isso, quando se dá um par de soluções fundamentais de uma equação linear de segunda ordem, é construir (ou identificar) a equação homogênea linear de segunda ordem cuja solução geral tem essas duas funções como base. Vou proceder encontrando essa equação homogênea e então verificar que ambas as y_{1} e y_{2} a satisfazem; em seguida calculo o Wronskiano. Não avanço em cálculos neste passo — só organizei o que será feito.
Passo 2
Começo calculando as derivadas necessárias de ambas as funções (passo direto e essencial para verificar se elas satisfazem uma equação diferencial de segunda ordem). Lembre: para verificar y numa equação que envolve y'',y',y preciso de y' e y''.
Para \;y_{1}(x)=1+x:
y_{1}'(x)=1,
y_{1}''(x)=0.
Para \;y_{2}(x)=e^{x}:
y_{2}'(x)=e^{x},
y_{2}''(x)=e^{x}.
Passo 3
Vou calcular o Wronskiano W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr) (isto já responde parte (b) e também é útil para determinar coeficientes da equação). Definição do Wronskiano: para duas funções y_{1},y_{2} ele é o determinante
Agora determino Q(x). Para isso, substituo uma das soluções (escolho y_{2}(x)=e^{x} porque as derivadas ficam simples) na equação geral e resolvo para Q(x).
Substituindo y_{2} e suas derivadas:
y_{2}''+P(x)\,y_{2}'+Q(x)\,y_{2}=0
\Rightarrow e^{x}+P(x)\,e^{x}+Q(x)\,e^{x}=0.
Dividindo por e^{x} (sempre positivo, então válido),
Comentário amigável: deu tudo certinho — as duas funções realmente são soluções da equação homogênea que construímos, e o Wronskiano não é identicamente zero (é x e^{x}), o que confirma que elas formam um par de soluções linearmente independentes numa região onde x\neq 0.
Resposta
a) y_{1}(x)=1+x e y_{2}(x)=e^{x} satisfazem a equação homogênea