Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
2 y^prime prime-7 y^prime+3 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' - 7,y' + 3,y = 0
Para resolver, vamos montar e resolver a equação característica associada.

Passo 2

A equação característica é obtida trocando y por e^r x, y' por r e^r x e y'' por r^2 e^r x. Assim, temos
2,r^2 - 7,r + 3 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-7)^2 - 4 cdot 2 cdot 3 = 49 - 24 = 25
As raízes da característica são
r = 7 pm raiz252 cdot 2 = 7 pm 54,
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r1 = 3, r2 = tfrac12

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
ou seja
y(x) = C1 e^3x + C2 e^tfracx2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^tfracx2

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