Questão (1(2,0)). Determine a solução, em \mathbb{R} :
(x-3)(x+4) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
(x-3)(x+4)\leq 0.
O conteúdo é análise de sinais de um produto de fatores. Vamos identificar os zeros de cada fator e estudar o sinal em cada intervalo determinado por eles.

Passo 2

Encontramos os pontos onde cada fator se anula:
x-3=0\implies x=3,
x+4=0\implies x=-4.
Esses valores dividem a reta real em três regiões: (-\infty,-4), (-4,3) e (3,\infty).

Passo 3

Em cada região, escolhemos um valor-teste para verificar o sinal de (x-3)(x+4):
  • Se x<-4, por exemplo x=-5, então (-5-3)<0 e (-5+4)<0, produto >0.
  • Se -4<x<3, por exemplo x=0, então (0-3)<0 e (0+4)>0, produto <0.
  • Se x>3, por exemplo x=4, então (4-3)>0 e (4+4)>0, produto >0.

Passo 4

Queremos (x-3)(x+4)\leq 0, ou seja, produto negativo ou zero. O produto é negativo em (-4,3) e vale zero em x=-4 ou x=3. Assim, a solução é o intervalo que inclui os extremos.

Resposta

[-4,3]

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