Questão 4. Determine a solução do sistema pelo método estudado:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=9 \\\ x+5 y+10 z=44 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + y + z = 9,\\\ x + 5y + 10z = 44 \end{cases}
usando eliminação (método de Gauss). Temos duas equações e três incógnitas, então esperamos obter uma família de soluções.

Passo 2

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar x. Fazendo
(x + 5y + 10z) - (x + y + z) = 44 - 9
ficamos com
4y + 9z = 35.

Passo 3

Como há três variáveis e apenas duas equações independentes, escolhemos z como parâmetro livre. Seja
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Da equação 4y + 9z = 35 obtemos
4y + 9t = 35 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{35 - 9t}{4}.

Passo 4

Substituímos y e z na primeira equação x + y + z = 9 para achar x:
x + \frac{35 - 9t}{4} + t = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 9 - \frac{35 - 9t}{4} - t = \frac{36 - (35 - 9t) - 4t}{4} = \frac{1 + 5t}{4}.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{1+5t}{4},\,\tfrac{35-9t}{4},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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