Questão 1. Nos itens a seguir, verifique que \operatorname{det}(k A)=k^{n} \operatorname{det}(A), sendo n a ordem da matriz dada:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & -2\end{array}\right] \quad k=3

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de determinantes
\det(kA) = k^n \det(A)
para a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix},
com n=3 e k=3. Vamos então calcular diretamente \det(A), construir 3A, calcular \det(3A) e comparar com 3^3\det(A).

Passo 2

Para calcular \det(A) usamos a expansão pela primeira coluna, pois há zeros nas posições (2,1) e (3,1):
\det(A) =1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3\\\\ 1 & -2 \end{vmatrix} =1\bigl(2\cdot(-2)-3\cdot1\bigr) =-4-3 =-7.

Passo 3

Multiplicamos cada entrada de A por k=3 para obter
3A =3\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 6 & 9\\\\ 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos \det(3A) novamente pela primeira coluna:
\det(3A) =3 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9\\\\ 3 & -6 \end{vmatrix} =3\bigl(6\cdot(-6)-9\cdot3\bigr) =3(-36-27) =3\cdot(-63) =-189.

Passo 5

Agora comparamos com 3^3\det(A):
3^3\det(A) =27\times(-7) =-189.
Vemos que \det(3A)=-189=3^3\det(A), confirmando a propriedade.

Resposta

Verificou-se que
\det(3A)= -189 \quad\text{e}\quad 3^3\det(A)= -189,
ou seja, \det(3A)=3^3\det(A).

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