(a) Determine todas as soluções fatoradas da equação \partial_{t} u=2 \partial_{x}^{2} u que satisfazem as condições de fronteira \partial_{x} u(0, t)=0, u(5 \pi, t)=0, \quad t \geq 0. Para isto, você pode usar sem precisar justificar que:
Os únicos valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais a equação X^{\prime \prime}-\lambda X=0 possui soluções não nulas que satisfazem X^{\prime}(0)=0 e X(5 \pi)=0 são \lambda_{n}=-\left(\frac{2 n-1}{10}\right)^{2}, n \in. Para cada cada valor de \lambda_{n} e cada n \in, as soluções correspondentes são da forma
Determine a e b tais que u(x, t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{ } a x+b.
(c) Obtenha a solução do problema em (b). Justifique.
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor
\partial_{t}u = 2\,\partial_{x}^{2}u
em 0<x<5\pi, com condições de fronteira \partial_{x}u(0,t)=0 e u(5\pi,t)=0.
(a) pede todas as soluções separadas (fatoradas) u(x,t)=X(x)\,T(t) que satisfaçam essas fronteiras.
(b) e (c) consideram um problema com fronteira não-homogênea \partial_{x}u(0,t)=-1, u(5\pi,t)=0 e condição inicial dada, e queremos achar a,b para que u(x,t)\to a x+b e então a solução completa.
Passo 2
Para (a), escrevemos u(x,t)=X(x)T(t). A separação dá
v(x,0) = u(x,0) - w(x) = \bigl(a x + b -5\cos(\tfrac{3}{10}x)+3\cos(\tfrac{x}{2})\bigr) - (a x + b) = -5\cos\Bigl(\tfrac{3}{10}x\Bigr) + 3\cos\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).
Reconhecemos que \cos(\tfrac{3}{10}x) e \cos(\tfrac{1}{2}x) são exatamente os modos n=2 e n=3 de (a), pois