Questão 5.

(a) Determine todas as soluções fatoradas da equação \partial_{t} u=2 \partial_{x}^{2} u que satisfazem as condições de fronteira \partial_{x} u(0, t)=0, u(5 \pi, t)=0, \quad t \geq 0. Para isto, você pode usar sem precisar justificar que:
Os únicos valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais a equação X^{\prime \prime}-\lambda X=0 possui soluções não nulas que satisfazem X^{\prime}(0)=0 e X(5 \pi)=0 são \lambda_{n}=-\left(\frac{2 n-1}{10}\right)^{2}, n \in. Para cada cada valor de \lambda_{n} e cada n \in, as soluções correspondentes são da forma
X_{n}(x)=\text { constante } \times \cos \left(\frac{2 n-1}{10} x\right)
(b) Considere o problema de propagação do calor abaixo com solução u=u(x, t).
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u=2 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<5 \pi, t>0 \\\ \partial_{x} u(0, t)=-1, u(5 \pi, t)=0, \quad t \geq 0 \\\ u(x, 0)=a x+b-5 \cos \left(\frac{3}{10} x\right)+3 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \end{array}\right.
Determine a e b tais que u(x, t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{ } a x+b.
(c) Obtenha a solução do problema em (b). Justifique.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor
\partial_{t}u = 2\,\partial_{x}^{2}u
em 0<x<5\pi, com condições de fronteira \partial_{x}u(0,t)=0 e u(5\pi,t)=0.
(a) pede todas as soluções separadas (fatoradas) u(x,t)=X(x)\,T(t) que satisfaçam essas fronteiras.
(b) e (c) consideram um problema com fronteira não-homogênea \partial_{x}u(0,t)=-1, u(5\pi,t)=0 e condição inicial dada, e queremos achar a,b para que u(x,t)\to a x+b e então a solução completa.

Passo 2

Para (a), escrevemos u(x,t)=X(x)T(t). A separação dá
\frac{T'(t)}{2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda.
Logo T(t)=e^{2\lambda t} e X satisfaz
X'' - \lambda\,X = 0,\quad X'(0)=0,\;X(5\pi)=0.
Pelo enunciado, os únicos \lambda\in\mathbb{R} possíveis são
\lambda_n = -\Bigl(\frac{2n-1}{10}\Bigr)^2,\quad n\in\mathbb{N},
com soluções
X_n(x) = \cos\!\Bigl(\tfrac{2n-1}{10}\,x\Bigr).
Portanto as soluções fatoradas são, para cada n\ge1,
u_n(x,t) = e^{\,2\lambda_n t}\,X_n(x) = \exp\!\Bigl(-2\bigl(\tfrac{2n-1}{10}\bigr)^{2}t\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{2n-1}{10}\,x\Bigr).

Passo 3

Para o problema em (b) procuramos o estado estacionário w(x) tal que \partial_t w=0 e
2\,w''(x)=0,\quad w'(0)=-1,\;w(5\pi)=0.
Integramos w''=0 e obtemos
w(x)=A x + B.
As fronteiras dão
w'(0)=A=-1, \quad w(5\pi)=-1\cdot5\pi + B =0 \;\Longrightarrow\; B=5\pi.
Logo
w(x) = -\,x + 5\pi,
isto é, a=-1 e b=5\pi.

Passo 4

Para obter a solução completa em (c), defina
v(x,t) = u(x,t) - w(x).
Então v satisfaz
\partial_t v = 2\,\partial_x^2 v, \quad v_x(0,t)=\partial_x u(0,t)-w'(0) = -1 -(-1)=0, \quad v(5\pi,t)=0-0=0,
e condição inicial
v(x,0) = u(x,0) - w(x) = \bigl(a x + b -5\cos(\tfrac{3}{10}x)+3\cos(\tfrac{x}{2})\bigr) - (a x + b) = -5\cos\Bigl(\tfrac{3}{10}x\Bigr) + 3\cos\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).
Reconhecemos que \cos(\tfrac{3}{10}x) e \cos(\tfrac{1}{2}x) são exatamente os modos n=2 e n=3 de (a), pois
\frac{2n-1}{10} = \frac{3}{10}\;\Longrightarrow\;n=2, \quad \frac{2n-1}{10} = \frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;n=3.
Portanto a série de Fourier tem só dois termos, e
v(x,t) = -5\,e^{-2(\tfrac{3}{10})^{2}t}\cos\Bigl(\tfrac{3}{10}x\Bigr) +3\,e^{-2(\tfrac{1}{2})^{2}t}\cos\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).
Voltando a u, temos a solução completa
u(x,t) = w(x) + v(x,t) = -\,x + 5\pi -5\,e^{-\tfrac{9}{50}t}\cos\Bigl(\tfrac{3}{10}x\Bigr) +3\,e^{-\tfrac{1}{2}t}\cos\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).

Resposta

(a)
u_n(x,t) = \exp\Bigl(-2\bigl(\tfrac{2n-1}{10}\bigr)^{2}t\Bigr) \cos\Bigl(\tfrac{2n-1}{10}\,x\Bigr), \quad n\in\mathbb{N}.
(b)
a=-1,\quad b=5\pi.
(c)
u(x,t) = -\,x + 5\pi -5\,e^{-\tfrac{9}{50}t}\cos\!\Bigl(\tfrac{3}{10}x\Bigr) +3\,e^{-\tfrac{1}{2}t}\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr).

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