(1,5) 3 - Um corredor viaja em direção ao sul a 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (em relação ao solo), sob uma chuva que está caindo, também em direção ao sul, sob a ação do vento. A trajetória das gotas de chuva formam um ângulo de 32^{\circ} \mathrm{com} a vertical, conforme registrado por um observador parado no solo. Entretanto, o corredor vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade da chuva em relação ao solo.

Passo 1

O corredor se move com velocidade \mathbf v_{C/S}=12\,\mathrm{m/s} na direção sul (em relação ao solo). A chuva tem velocidade \mathbf v_{R/S} em relação ao solo, caindo para baixo e sendo soprada para o sul. Um observador em repouso vê a trajetória da chuva inclinada de 32^\circ em relação à vertical, mas o corredor vê a chuva cair verticalmente. Vamos usar o conceito de velocidades relativas para achar \mathbf v_{R/S}.

Passo 2

Escrevemos a velocidade da chuva em relação ao solo em componentes:
– Componente horizontal (sul): V_h
– Componente vertical (para baixo): V_v
O ângulo entre \mathbf v_{R/S} e a vertical satisfaz
\tan(32^\circ)\;=\;\frac{V_h}{V_v}\quad\Longrightarrow\quad V_h = V_v\,\tan(32^\circ).

Passo 3

A velocidade da chuva em relação ao corredor é
\mathbf v_{R/C} \;=\;\mathbf v_{R/S}-\mathbf v_{C/S}.
Como o corredor vê a chuva cair verticalmente, a componente horizontal de \mathbf v_{R/C} deve ser zero. Então
V_h \;-\;12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_h = 12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Usando V_h = V_v\,\tan(32^\circ) e V_h=12, obtemos
V_v = \frac{V_h}{\tan(32^\circ)} = \frac{12}{\tan(32^\circ)} \approx 19{,}2\\ \mathrm{m/s}
para baixo.

Passo 5

Se desejarmos a velocidade escalar da chuva em relação ao solo,
\bigl\lVert \mathbf v_{R/S}\bigr\rVert = \sqrt{V_h^2+V_v^2} = \sqrt{12^2 + 19{,}2^2} \approx 22{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A chuva tem velocidade em relação ao solo de
12\\ \mathrm{m/s} para o sul, e
19{,}2\\ \mathrm{m/s} para baixo,
com velocidade escalar \approx22{,}6\\ \mathrm{m/s}.

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