No tempo t_{1}=2,00 \mathrm{~s} a aceleração de uma partícula que tem um movimento circular no sentido anti-horário é \vec{a}=\left(6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. No tempo t_{2}=5,00 \mathrm{~s} a aceleração da partícula é \vec{a}=\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{i}+\left(-6,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{j}. Qual é o raio da trajetória da partícula assumindo que t_{2}-t_{1} é menor que um período? Dicas: Essas acelerações tem que ser centrípetas. Indique em qual quadrante essas acelerações ocorrem. Calcule o produto escalar entre esses dois vetores e veja qual é o ângulo entre esses dois vetores.

Passo 1

O enunciado diz que a partícula faz movimento circular uniforme (anticlockwise) e que, nos instantes t_{1}=2{,}00\\ \mathrm{s} e t_{2}=5{,}00\\ \mathrm{s}, sua aceleração é puramente centrípeta, dado pelos vetores
\vec{a}_1 = (6{,}00\\ \mathrm{m/s}^2)\,\hat{\imath} + (4{,}00\\ \mathrm{m/s}^2)\,\hat{\jmath},
\vec{a}_2 = (4{,}00\\ \mathrm{m/s}^2)\,\hat{\imath} + (-6{,}00\\ \mathrm{m/s}^2)\,\hat{\jmath}.
Queremos o raio r da trajetória, sabendo que \Delta t = t_2 - t_1 = 3{,}00\\ \mathrm{s} é menor que um período. Para isso, vamos:
  1. Identificar em que quadrante caem \vec{a}_1 e \vec{a}_2.
  2. Calcular o ângulo \Delta\theta que a partícula percorre em \Delta t via produto escalar.
  3. Determinar a velocidade angular \omega = \Delta\theta / \Delta t.
  4. Usar a relação da aceleração centrípeta \displaystyle a_c = \omega^2 r para achar r.

Passo 2

Vamos ver cada vetor:
  • \vec{a}_1 = (+6{,}00,\,+4{,}00) tem componentes positivas em x e y, está no 1º quadrante.
  • \vec{a}_2 = (+4{,}00,\,-6{,}00) tem x>0 e y<0, está no 4º quadrante.
A magnitude comum (pois é MCU) vale
\bigl|\vec{a}_1\bigr| =\sqrt{6{,}00^2 + 4{,}00^2} =\sqrt{36 + 16} =\sqrt{52} \approx 7{,}21\\ \mathrm{m/s}^2.

Passo 3

O produto escalar dá o cosseno do ângulo \Delta\theta entre \vec{a}_1 e \vec{a}_2:
\vec{a}_1\cdot\vec{a}_2 = 6{,}00\cdot 4{,}00 + 4{,}00\cdot(-6{,}00) =24 -24 = 0.
Como \vec{a}_1\cdot\vec{a}_2 = |\vec{a}_1|\,|\vec{a}_2|\cos\Delta\theta e |\vec{a}_1|=|\vec{a}_2|,
\cos\Delta\theta = \frac{0}{\bigl|\vec{a}_1\bigr|^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta\theta = \tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

A velocidade angular é
\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\pi/2}{3{,}00} = \frac{\pi}{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Na aceleração centrípeta uniforme vale
a_c = \omega^2\,r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{a_c}{\omega^2} = \frac{\sqrt{52}}{(\pi/6)^2} = \frac{\sqrt{52}}{\pi^2/36} = \frac{36\,\sqrt{52}}{\pi^2} \approx 26{,}3\\ \mathrm{m}.

Resposta

O raio da trajetória é aproximadamente 26{,}3\\ \mathrm{m}.

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