Questão 1(2,0) : Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
F(x, y, z)=(y z e^x y z+1+sen(y), x z e^x y z+1+(x+z) cos (y), x y e^x y z+1+sen(y))
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária C que liga o ponto P1=(0,0,0) ao ponto P2=(0, pi2, 2).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=integralCvec Fcdot dvec r
para vec F=(P,Q,R) com
P=y z e^x y z+1+sin(y), Q=x z e^x y z+1+(x+z)cos(y), R=x y e^x y z+1+sin(y),
entre P1=(0,0,0) e P2=(0,pi/2,2). Vamos ver que vec F é conservativo (logo o valor não depende de C) e então achar uma função potencial phi tal que nablaphi=vec F.

Passo 2

Verificamos as condições de campo conservativo comparando derivadas mistas:
partial Ppartial y =;z e^x y z+x y z^2 e^x y z+cos(y) ;=;partial Qpartial x,
partial Ppartial z =;y e^x y z+x y^2 z e^x y z ;=;partial Rpartial x,
partial Qpartial z =;x e^x y z+x^2 y z e^x y z+cos(y) ;=;partial Rpartial y
Como todas conferem, vec F é conservativo.

Passo 3

Integramos
partialphipartial x=P
em relação a x, tratando y,z como constantes:
phi(x,y,z) =integrall(y z e^x y z+1+sin(y)r),dx =e^x y z+x+xsin(y)+H(y,z)

Passo 4

Derivamos em y e igualamos a Q:
partialphipartial y =x z e^x y z+xcos(y)+partial Hpartial y stackrel!=Q =x z e^x y z+1+(x+z)cos(y)
Dessa igualdade vem
partial Hpartial y=1+zcos(y),
logo
H(y,z)=integrall(1+zcos(y)r),dy =y+zsin(y)+G(z)

Passo 5

Agora phi=e^x y z+x+xsin(y)+y+zsin(y)+G(z). Derivando em z e igualando a R:
partialphipartial z =x y e^x y z+sin(y)+G'(z) stackrel!=R =x y e^x y z+1+sin(y),
de onde G'(z)=1 e G(z)=z (constante desprezada). Assim
phi(x,y,z)=e^x y z+x+xsin(y)+y+zsin(y)+z

Passo 6

O trabalho é
W=phi(P2)-phi(P1)
Em P1=(0,0,0) vale
phi= e^0+0+0+0+0+0=1.
Em P2=(0,pi/2,2) vale
phi=e^0+0+0+tfracpi2+2cdot1+2 =1+tfracpi2+4 =5+tfracpi2
Logo
W=l(5+tfracpi2r)-1 =4+tfracpi2

Resposta

4+tfracpi2

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