Três circunferêcias são duas a duas tangentes tangentes exteriores. Seus centros formam um triângulo equilátero. Qual a medida de seus raios ?
Passo 1
Temos três circunferências com raios
,
e
cujos centros formam um triângulo equilátero. Elas são tangentes exteriores duas a duas. Para resolver, vamos usar a relação entre distância de centros e soma de raios em tangência exterior, além da igualdade dos lados do triângulo equilátero.
Passo 2
Em tangência exterior entre duas circunferências, a distância entre os centros é igual à soma dos raios. Logo, se
,
e
são os centros, temos:
Passo 3
Como
é equilátero,
. Assim,
Da igualdade
segue
. Da igualdade
segue
. Portanto,
Passo 4
Chamando
o valor comum dos três raios, cada lado do triângulo mede
Seja
o lado do triângulo equilátero formado pelos centros. Então
Resposta
Os três raios são iguais. Seja
o comprimento do lado do triângulo formado pelos centros, então