Três circunferêcias são duas a duas tangentes tangentes exteriores. Seus centros formam um triângulo equilátero. Qual a medida de seus raios ?

Passo 1

Temos três circunferências com raios r1, r2 e r3 cujos centros formam um triângulo equilátero. Elas são tangentes exteriores duas a duas. Para resolver, vamos usar a relação entre distância de centros e soma de raios em tangência exterior, além da igualdade dos lados do triângulo equilátero.

Passo 2

Em tangência exterior entre duas circunferências, a distância entre os centros é igual à soma dos raios. Logo, se A, B e C são os centros, temos:
AB = r1 + r2,
BC = r2 + r3,
CA = r3 + r1

Passo 3

Como ABC é equilátero, AB = BC = CA. Assim,
r1 + r2 = r2 + r3 = r3 + r1
Da igualdade r1 + r2 = r2 + r3 segue r1 = r3. Da igualdade r2 + r3 = r3 + r1 segue r2 = r1. Portanto,
r1 = r2 = r3

Passo 4

Chamando r o valor comum dos três raios, cada lado do triângulo mede
AB = r + r = 2r
Seja L o lado do triângulo equilátero formado pelos centros. Então
L = 2r Longrightarrow r = L2

Resposta

Os três raios são iguais. Seja L o comprimento do lado do triângulo formado pelos centros, então
r1 = r2 = r3 = L2

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