Utilizando a Regra da Cadeia, calcule f^prime(x), sendo
f(x)=ln (3 x^2-2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(3x^2-2xr)
usando a regra da cadeia. O conteúdo necessário é a derivação de logaritmo natural e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Reconhecemos f(x)=lnl(u(x)r) com
u(x)=3x^2-2x
Pela regra da cadeia, a derivada de lnl(u(x)r) é
f^prime(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=3x^2-2x, temos
u'(x)=ddxl(3x^2r)-ddx(2x)=6x-2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f^prime(x)=dfracu'(x)u(x), obtemos
f^prime(x)=6x-23x^2-2x
Opcionalmente, podemos fatorar numerador e denominador:
f^prime(x)=2(3x-1)x(3x-2)

Resposta

f^prime(x)=6x-23x^2-2x
ou, de forma simplificada,
f^prime(x)=2(3x-1)x(3x-2)

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