Questão 2. Resolva, em C, a equaçāo 2 z^{4}-6=0.
*Dica: Considere a forma z^{n}=m.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números complexos, a equação
2z^{4} - 6 = 0
O conteúdo que vamos usar é o de raízes n-ésimas de números complexos: forma polar e Teorema de De Moivre.

Passo 2

Isolando z^{4}, temos
2z^{4} - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{4} = 3.

Passo 3

Escrevemos o número 3 em forma polar como
3 = 3\,e^{i\cdot 0},
logo o seu módulo é \lvert 3\rvert = 3 e o seu argumento principal é \arg(3) = 0.

Passo 4

Pela fórmula de raízes n-ésimas, se z^{n}=m com m=\lvert m\rvert e^{i\arg(m)}, então as soluções são
z_{k} = \lvert m\rvert^{1/n}\,e^{\,i\bigl(\arg(m)+2\pi k\bigr)/n},
para k=0,1,\dots,n-1.

Passo 5

Aqui n=4 e \lvert m\rvert=3, \arg(m)=0. Logo
r = 3^{1/4}, \qquad \theta_{k} = \frac{0 + 2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}, \quad k=0,1,2,3.
As quatro raízes são
z_{k} = 3^{1/4}\,e^{\,i\pi k/2}, \quad k=0,1,2,3.

Resposta

z_{0} = 3^{1/4},\quad z_{1} = i\,3^{1/4},\quad z_{2} = -3^{1/4},\quad z_{3} = -i\,3^{1/4}.

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