Questão 1. Determine o módulo e o argumento do número complexo w=z^{4} em que z=\frac{3+i}{1+2 i}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo e o argumento de w = z^4, onde
z = \frac{3 + i}{1 + 2i}.
O conteúdo envolve números complexos em forma polar e as propriedades de módulo e argumento sob potenciação.

Passo 2

Para encontrar z em forma a+bi, multiplicamos numerador e denominador por 1 - 2i:
\frac{3 + i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{(3 + i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 - 6i + i - 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{3 - 5i + 2}{1 + 4} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i.
Logo
z = 1 - i.

Passo 3

Agora convertemos z para forma polar. Primeiro o módulo:
|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
Em seguida o argumento, tomando a tangente inversa no quarto quadrante:
\arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-1}{1}\bigr) = -\frac{\pi}{4}.
Portanto
z = \sqrt{2}\,\mathrm e^{-i\pi/4}.

Passo 4

Como w = z^4, usamos as propriedades
|w| = |z|^4 = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^4 = 4,
\arg(w) = 4\,\arg(z) = 4\!\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\pi.

Resposta

|w| = 4. \arg(w) = -\pi.

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