Questão 7. Determine, usando convolução, as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(3+i \omega)(4+i \omega)}

Passo 1

O enunciado pede a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja transformada de Fourier é
\hat f(\omega)=\frac{1}{(3+i\omega)(4+i\omega)}.
O conteúdo envolvido é o uso do teorema da convolução e a tabela de transformadas de a transformada de Fourier de funções exponenciais amortecidas (multiplicadas pelo degrau unitário).

Passo 2

Recordando que, para a>0,
\mathcal{F}\{e^{-a t}u(t)\}(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{a+i\omega},
vemos que podemos escrever
\hat f(\omega) =\frac{1}{3+i\omega}\;\cdot\;\frac{1}{4+i\omega} =\hat g(\omega)\,\hat h(\omega),
onde
g(t)=e^{-3t}u(t), \quad h(t)=e^{-4t}u(t).

Passo 3

Pelo teorema da convolução na transformada de Fourier (sem fator extra de 2\pi), temos
\mathcal{F}\{g*h\}(\omega) =\hat g(\omega)\,\hat h(\omega) =\hat f(\omega).
Logo
f(t)=(g*h)(t) =\int_{-\infty}^{\infty}g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-3\tau}\,e^{-4(t-\tau)}\,d\tau,
pois g e h valem zero para argumentos negativos.

Passo 4

Para t>0,
f(t) =\int_{0}^{t}e^{-3\tau -4(t-\tau)}\,d\tau =e^{-4t}\int_{0}^{t}e^{\tau}\,d\tau =e^{-4t}\bigl(e^{t}-1\bigr) =e^{-3t}-e^{-4t}.
Para t<0, claramente f(t)=0, pois a convolução de duas funções causais é causal.

Resposta

A função solicitada é
f(t)=\bigl(e^{-3t}-e^{-4t}\bigr)\,u(t).

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