Questão 5. Sabendo que a Transformada de Fourier de g(x)=\chi_{[-a, a]}(x) é \hat{g}(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\operatorname{sen}(a \omega)}{\omega}, determine a Transformada de Fourier de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x},
sabendo que, no mesmo convênio de transformada
\hat g(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-i\omega x}dx,
temos que para g(x)=\chi_{[-a,a]}(x) vale
\hat g(\omega) =\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;\frac{\operatorname{sen}(a\omega)}{\omega}.
Vamos usar a definição da transformada e propriedades de funções pares.

Passo 2

Escrevendo diretamente
\hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,e^{-i\omega x}dx.
Como \operatorname{sen}(a x)/x é função par, dividimos o integrando em partes real e imaginária:

Passo 3

Separando
e^{-i\omega x}=\cos(\omega x)-i\operatorname{sen}(\omega x),
vemos que \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\operatorname{sen}(\omega x)\,dx
é zero (integrando ímpar sobre simétrico). Resta
\hat f(\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\cos(\omega x)\,dx = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\cos(\omega x)\,dx.

Passo 4

Usamos o resultado conhecido de integrals de Fresnel:
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}\,\cos(\omega x)\,dx =\begin{cases} \dfrac{\pi}{2},&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a. \end{cases}
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\hat f(\omega) =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\times \begin{cases} \dfrac{\pi}{2},&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a \end{cases} =\begin{cases} \dfrac{\pi}{\sqrt{2\pi}},&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a. \end{cases}

Passo 5

Simplificando \pi/\sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi/2}, obtemos
\hat f(\omega) =\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\;\chi_{[-a,a]}(\omega).

Resposta

\boxed{ \hat f(\omega) =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\;\chi_{[-a,a]}(\omega). }

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