Calcule

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral (x^2+1)(x^3+3x)^4,dx. Isso é uma integral do tipo “função composta vezes a derivada da parte interna”, então vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^3 + 3x. Calculando a diferencial, temos
du = (3x^2 + 3),dx = 3(x^2 + 1),dx

Passo 3

Isolamos (x^2+1),dx em termos de du:
(x^2+1),dx = du3

Passo 4

Reescrevemos a integral em função de u:
integral (x^2+1)(x^3+3x)^4,dx = integral u^4 cdot du3 = 13integral u^4,du

Passo 5

Aplicamos a regra de potência na integral de u:
integral u^4,du = u^55,
então
13integral u^4,du = 13cdot u^55 = u^515

Passo 6

Voltando à variável original, substituímos u = x^3+3x:
u^515 = (x^3+3x)^515

Resposta

(x^3+3x)^515 + C

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