O plano \mathscr{Q} passa pelo ponto (1,-1,0) e contem a reta \mathscr{L}: x-1=\frac{y+1}{4}=z+4. Achar a equação da esfera com centro (0,-2,1) e tangente ao plano \mathscr{Q}

Passo 1

O enunciado pede a esfera de centro (0,-2,1) que é tangente ao plano \mathscr{Q}. O plano \mathscr{Q} passa pelo ponto P=(1,-1,0) e contém a reta
\mathscr{L}:\;x-1=\frac{y+1}{4}=z+4.
Para achar a esfera precisamos (1) determinar a equação de \mathscr{Q}, (2) calcular a distância do centro da esfera a \mathscr{Q} (que será o raio), e (3) escrever a equação da esfera com esse raio.

Passo 2

Vamos achar a equação de \mathscr{Q}. Primeiro extraímos um vetor diretor da reta \mathscr{L}. Seja
t = x-1 = \frac{y+1}{4} = z+4.
Então
(x,y,z) = (1+t,\;4t-1,\;t-4),
logo um vetor diretor de \mathscr{L} é
\mathbf{v}=(1,4,1).
Outro vetor do plano é o que liga um ponto da reta, por exemplo (1,-1,-4) (obtido em t=0), ao ponto P=(1,-1,0). Esse vetor é
\mathbf{u} = P - (1,-1,-4) = (0,0,4).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} \;=\;\mathbf{v}\times \mathbf{u} =\;(1,4,1)\times(0,0,4) =(16,\,-4,\,0).
Podemos simplificar dividindo por 4, ficando
\mathbf{n}=(4,-1,0).

Passo 3

Usando \mathbf{n}=(4,-1,0) e o ponto P=(1,-1,0) na fórmula pontonorma, a equação de \mathscr{Q} é
4\,(x-1)\,-1\,(y+1)\,+0\,(z-0)=0
ou seja
4x - y -5 = 0.

Passo 4

O raio da esfera é a distância do centro C=(0,-2,1) ao plano 4x-y-5=0:
r = \frac{\bigl|4\cdot0 -(-2) -5\bigr|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{\bigl|2-5\bigr|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}.

Resposta

A equação da esfera é
(x-0)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 \;=\;\Bigl(\frac{3}{\sqrt{17}}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = \frac{9}{17}.

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