O plano
passa pelo ponto
e contem a reta
. Achar a equação da esfera com centro
e tangente ao plano
Passo 1
O enunciado pede a esfera de centro
que é tangente ao plano
. O plano
passa pelo ponto
e contém a reta
Para achar a esfera precisamos (1) determinar a equação de
, (2) calcular a distância do centro da esfera a
(que será o raio), e (3) escrever a equação da esfera com esse raio.
Passo 2
Vamos achar a equação de
. Primeiro extraímos um vetor diretor da reta
. Seja
Então
logo um vetor diretor de
é
Outro vetor do plano é o que liga um ponto da reta, por exemplo
(obtido em
), ao ponto
. Esse vetor é
O vetor normal
ao plano é dado pelo produto vetorial
Podemos simplificar dividindo por
, ficando
Passo 3
Usando
e o ponto
na fórmula pontonorma, a equação de
é
ou seja
Passo 4
O raio da esfera é a distância do centro
ao plano
:
Resposta
A equação da esfera é