Mostre, por indução matemática, que, para todo n \in \mathbb{N} \cup\{0\},
9 \mid 10^{n}+3.4^{n+2}+5

Passo 1

O enunciado pede para usar indução matemática em n\in\mathbb{N}\cup\{0\} para mostrar que
9 \mid 10^{n} + 3\cdot 4^{n+2} + 5.
O conteúdo aqui é o princípio de indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=0:
Calcule
10^{0} + 3\cdot 4^{2} + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = 1 + 48 + 5 = 54.
Como 54 = 6\cdot9, concluímos que 9\mid 54. Portanto, a afirmação vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\ge0, vale
9 \mid 10^{k} + 3\cdot 4^{k+2} + 5.
Ou seja, existe um inteiro m tal que
10^{k} + 3\cdot 4^{k+2} + 5 = 9m.

Passo 4

Passo indutivo k\to k+1: consideremos
10^{k+1} + 3\cdot 4^{k+3} + 5.
Reescrevendo, temos
10^{k+1} + 3\cdot 4^{k+3} + 5 = 10\cdot 10^{k} + 3\cdot4\cdot4^{k+2} + 5.
Agora separamos múltiplos de 9:
10\cdot10^{k} = 9\cdot10^{k} + 10^{k}, \quad 3\cdot4\cdot4^{k+2} = 9\cdot4^{k+2} + 3\cdot4^{k+2}.
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10^{k+1} + 3\cdot 4^{k+3} + 5 = 9(10^{k} + 4^{k+2}) + \bigl(10^{k} + 3\cdot4^{k+2} + 5\bigr).
Pela hipótese de indução, 10^{k} + 3\cdot4^{k+2} + 5 é múltiplo de 9. Somando isso a 9(10^{k}+4^{k+2}), obtemos um múltiplo de 9. Portanto
9 \mid 10^{k+1} + 3\cdot 4^{k+3} + 5.

Passo 5

Como a propriedade vale para n=0 e de n=k implica n=k+1, pelo princípio da indução ela vale para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}.

Resposta

Concluímos que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\},
9 \mid 10^{n} + 3\cdot 4^{n+2} + 5.

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