Mostre, por indução matemática, que, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede para usar indução matemática em
para mostrar que
O conteúdo aqui é o princípio de indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
:
Calcule
Calcule
Como
, concluímos que
. Portanto, a afirmação vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, vale
Ou seja, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo
: consideremos
Reescrevendo, temos
Agora separamos múltiplos de 9:
Logo
Pela hipótese de indução,
é múltiplo de 9. Somando isso a
, obtemos um múltiplo de 9. Portanto
Passo 5
Como a propriedade vale para
e de
implica
, pelo princípio da indução ela vale para todo
.
Resposta
Concluímos que, para todo
,