Questão 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
n
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor máximo e o valor mínimo da função
no conjunto
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Plano de ataque (explicação didática das ideias que vamos usar): como o conjunto
é fechado e limitado e
é contínua (polinômio), o Teorema do Valor Extremo garante que
atinge máximo e mínimo em
. Para encontrá-los precisamos checar:
- pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é zero), e - extremos ao longo da fronteira do retângulo (quatro arestas) — nessas arestas transformamos o problema em função de uma variável e procuramos extremos (derivada zero ou pontos das extremidades).
Breve aula sobre gradiente e pontos críticos: o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais
Um ponto interior é crítico se
. Esses pontos são candidatos a máximo/mínimo (ou sela); por isso devemos também analisar a fronteira.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vamos derivar termo a termo, lembrando que
,
,
. Para
procedemos analogamente.
Passo 4
Resolver o sistema
Da primeira equação temos
ou
(ou seja
e
). Como o domínio exige
, descartamos
. Ficamos com
e então
. Logo o único ponto crítico interior (e também no domínio) é
.]
Passo 5
Avaliar
no ponto crítico interior:
Esse é um candidato a extremo; agora vamos checar as arestas do retângulo.
Passo 6
Aresta 1:
, com
. Substituindo em
:
Isto é uma função de uma variável que é decrescente em
(pois derivada
). Portanto no intervalo
o máximo ocorre em
e o mínimo em
. Valores:
Passo 7
Aresta 2:
, com
. Substituindo:
Derivando em relação a
:
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
. Assim máximo em
, mínimo em
. Valores:
Passo 8
Aresta 3:
, com
. Substituindo:
Esta função é crescente em
(derivada
), então mínimo em
, máximo em
. Valores:
Passo 9
Aresta 4:
, com
. Substituindo:
Agora tratamos como função de uma variável. Derivada:
Zerando a derivada obtemos
. No intervalo
só interessa
. Avaliamos
em
,
(as extremidades) e em
(ponto crítico interno da aresta):
Em
:
Calculemos
. Assim
Para comparar numericamente, use
, então
Passo 10
Reunir todos os candidatos a máximo/mínimo e seus valores:
Comparando esses valores, o maior é
(ocorre em
) e o menor é
(ocorre em
). Assim concluímos quais são os extremos globais em
.
Resposta
Máximo:
em
.
Mínimo: em
.
Mínimo: