Questão 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f(x, y)=x^{3}-3 x y-y^{3} n
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leqslant x \leqslant 2 \text { è } 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}è

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor máximo e o valor mínimo da função
f(x,y)=x^{3}-3xy-y^{3}
no conjunto
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2\}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função:}\quad f(x,y)=x^{3}-3xy-y^{3}.\\\ &\text{Região:}\quad x\in[0,2],\; y\in[0,2]\\ (\text{retângulo fechado e limitado}).\\\ &\text{O que se pergunta:}\quad\text{valor máximo de }f\text{ em }R\text{ e valor mínimo de }f\text{ em }R. \end{aligned}çããâáí

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática das ideias que vamos usar): como o conjunto R é fechado e limitado e f é contínua (polinômio), o Teorema do Valor Extremo garante que f atinge máximo e mínimo em R. Para encontrá-los precisamos checar:
  1. pontos críticos no interior de R (onde o gradiente é zero), e
  2. extremos ao longo da fronteira do retângulo (quatro arestas) — nessas arestas transformamos o problema em função de uma variável e procuramos extremos (derivada zero ou pontos das extremidades).
Breve aula sobre gradiente e pontos críticos: o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Um ponto interior é crítico se \nabla f(x,y)= (0,0). Esses pontos são candidatos a máximo/mínimo (ou sela); por isso devemos também analisar a fronteira.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vamos derivar termo a termo, lembrando que \frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2}, \frac{\partial}{\partial x}(-3xy)=-3y, \frac{\partial}{\partial x}(-y^{3})=0. Para \partial f/\partial y procedemos analogamente.
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-3x-3y^{2}.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f(x,y)=(0,0)\). Igualando as derivadas a zero e simplificando dividindo por \(3\): \[\begin{cases} x^{2}-y=0,\\[4pt] - x - y^{2}=0. \end{cases}
Da primeira equação temos y=x^{2}\]. Substituindo na segunda: \[- x - (x^{2})^{2}=0\quad\Rightarrow\quad -x - x^{4}=0\quad\Rightarrow\quad x(1+x^{3})=0.\] Portanto \(x=0 ou 1+x^{3}=0 (ou seja x^{3}=-1 e x=-1). Como o domínio exige x\in[0,2], descartamos x=-1. Ficamos com x=0 e então y=x^{2}=0. Logo o único ponto crítico interior (e também no domínio) é (0,0).]

Passo 5

Avaliar f no ponto crítico interior:
f(0,0)=0^{3}-3\cdot0\cdot0-0^{3}=0.
Esse é um candidato a extremo; agora vamos checar as arestas do retângulo.

Passo 6

Aresta 1: x=0, com y\in[0,2]. Substituindo em f:
f(0,y)=-y^{3}.
Isto é uma função de uma variável que é decrescente em y\ge0 (pois derivada \frac{d}{dy}(-y^{3})=-3y^{2}\le 0). Portanto no intervalo y\in[0,2] o máximo ocorre em y=0 e o mínimo em y=2. Valores:
f(0,0)=0,\qquad f(0,2)=-8.

Passo 7

Aresta 2: x=2, com y\in[0,2]. Substituindo:
f(2,y)=2^{3}-3\cdot2\cdot y - y^{3}=8-6y-y^{3}.
Derivando em relação a y: \frac{d}{dy}f(2,y)=-6-3y^{2}=-3(2+y^{2})<0 para todo y. Logo f(2,y) é estritamente decrescente em [0,2]. Assim máximo em y=0, mínimo em y=2. Valores:
f(2,0)=8,\qquad f(2,2)=8-12-8=-12.

Passo 8

Aresta 3: y=0, com x\in[0,2]. Substituindo:
f(x,0)=x^{3}.
Esta função é crescente em x\ge0 (derivada 3x^{2}\ge0), então mínimo em x=0, máximo em x=2. Valores:
f(0,0)=0,\qquad f(2,0)=8.

Passo 9

Aresta 4: y=2, com x\in[0,2]. Substituindo:
f(x,2)=x^{3}-3x\cdot 2 -2^{3}=x^{3}-6x-8.
Agora tratamos como função de uma variável. Derivada:
\frac{d}{dx}f(x,2)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2).
Zerando a derivada obtemos x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}. No intervalo [0,2] só interessa x=\sqrt{2}. Avaliamos f em x=0, x=2 (as extremidades) e em x=\sqrt{2} (ponto crítico interno da aresta):
f(0,2)= -8\quad(\text{já calculado}),\qquad f(2,2)=-12\quad(\text{já calculado}).áá
Em x=\sqrt{2}:
f(\sqrt{2},2)=(\sqrt{2})^{3}-6\sqrt{2}-8.
Calculemos (\sqrt{2})^{3}=(\sqrt{2})^{2}\sqrt{2}=2\sqrt{2}. Assim
f(\sqrt{2},2)=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}-8=-4\sqrt{2}-8.
Para comparar numericamente, use \sqrt{2}\approx 1,4142, então
-4\sqrt{2}-8\approx -4\cdot 1,4142 -8 \approx -5,6568 -8 \approx -13,6568.

Passo 10

Reunir todos os candidatos a máximo/mínimo e seus valores:
\begin{aligned} &(0,0):\\ f=0,\\\ &(0,2):\\ f=-8,\\\ &(2,0):\\ f=8,\\\ &(2,2):\\ f=-12,\\\ &(\sqrt{2},2):\\ f=-4\sqrt{2}-8\approx -13,6568. \end{aligned}
Comparando esses valores, o maior é 8 (ocorre em (2,0)) e o menor é -4\sqrt{2}-8 (ocorre em (\sqrt{2},2)). Assim concluímos quais são os extremos globais em R.

Resposta

Máximo: 8 em (2,0).
Mínimo: -4\sqrt{2}-8 em (\sqrt{2},2).

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