Questão 1. Seja f(x, y)=4 x e^{y}+9 y e^{x}+x+y. Determine:
(a) A derivada dirccional D_{\vec{v}} f(P) no ponto P=(0,0) na dircção de \vec{v}=(3,4).
(b) Uma equação da reta tangente à curva de nível c=0 de f(x, y) no ponto (0,0).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=4x e^{y}+9y e^{x}+x+y e pede duas coisas:
(a) A derivada direcional D_{\vec{v}}f(P) no ponto P=(0,0) na direção do vetor \vec{v}=(3,4).
(b) Uma equação da reta tangente à curva de nível c=0 (ou seja, ao conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=0\}) no ponto (0,0).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f, o ponto (0,0) e o vetor direção \vec{v}=(3,4). A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos aprender como calcular derivadas parciais e o gradiente, porque a derivada direcional usa exatamente isso.
A derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, é obtida tratando y como constante e derivando em x. Aqui temos termos que são produto de funções (por exemplo 4x e^{y}) e termos com e^{x}, então usaremos a regra do produto e que a derivada de e^{x} é e^{x}.
A derivada parcial em relação a y, \frac{\partial f}{\partial y}, trata x como constante.
Explicação rápida de significado: o gradiente no ponto dá a direção de crescimento máximo de f e é perpendicular às curvas de nível de f nesse ponto — isso será útil na parte (b).
Passo 4
Agora a derivada direcional. Definição e fórmula prática:
A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar do gradiente por um vetor unitário na direção desejada.
Como o enunciado deu \vec{v}=(3,4), primeiro normalizamos para obter a unidade \mathbf{u}.
Portanto, a derivada direcional pedida na parte (a) é 11.
Passo 6
Parte (b): reta tangente à curva de nível f(x,y)=0 em (0,0).
Conceito: para uma curva de nível f(x,y)=c, o gradiente \nabla f no ponto é normal (perpendicular) à curva. Assim a reta tangente no ponto tem direção perpendicular ao gradiente — ou seja, se \nabla f(0,0)=(A,B), um vetor diretor da reta tangente é qualquer (t_1,t_2) tal que A t_1 + B t_2 = 0.
No nosso caso \nabla f(0,0)=(5,10). Podemos encontrar a inclinação m da tangente usando a fórmula da derivada implícita (quando \frac{\partial f}{\partial y}\neq 0):