Questão 1. Seja f(x, y)=4 x e^{y}+9 y e^{x}+x+y. Determine:
(a) A derivada dirccional D_{\vec{v}} f(P) no ponto P=(0,0) na dircção de \vec{v}=(3,4).
(b) Uma equação da reta tangente à curva de nível c=0 de f(x, y) no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4x e^{y}+9y e^{x}+x+y e pede duas coisas:
  • (a) A derivada direcional D_{\vec{v}}f(P) no ponto P=(0,0) na direção do vetor \vec{v}=(3,4).
  • (b) Uma equação da reta tangente à curva de nível c=0 (ou seja, ao conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=0\}) no ponto (0,0).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f, o ponto (0,0) e o vetor direção \vec{v}=(3,4). A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos aprender como calcular derivadas parciais e o gradiente, porque a derivada direcional usa exatamente isso.
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, é obtida tratando y como constante e derivando em x. Aqui temos termos que são produto de funções (por exemplo 4x e^{y}) e termos com e^{x}, então usaremos a regra do produto e que a derivada de e^{x} é e^{x}.
  • A derivada parcial em relação a y, \frac{\partial f}{\partial y}, trata x como constante.
Agora calculemos as parciais explicitamente:
A função é f(x,y)=4x e^{y}+9y e^{x}+x+y.
Derivando em x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x e^{y}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(9y e^{x}\big)+\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial x}(y).
  • Para \frac{\partial}{\partial x}(4x e^{y}): e^{y} é constante (em relação a x), então é 4 e^{y}.
  • Para \frac{\partial}{\partial x}(9y e^{x}): 9y é constante, derivada é 9y e^{x}.
  • \frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \frac{\partial}{\partial x}(y)=0.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4 e^{y}+9y e^{x}+1.
Derivando em y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x e^{y}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(9y e^{x}\big)+\frac{\partial}{\partial y}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y).
  • \frac{\partial}{\partial y}(4x e^{y}): aqui 4x é constante (em relação a y), então é 4x e^{y}.
  • \frac{\partial}{\partial y}(9y e^{x}): e^{x} é constante, derivada é 9 e^{x}.
  • \frac{\partial}{\partial y}(x)=0.
  • \frac{\partial}{\partial y}(y)=1.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4x e^{y}+9 e^{x}+1.
O gradiente é o vetor das parciais:
\nabla f(x,y)=\big(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\big).

Passo 3

Avalie o gradiente no ponto (0,0). Lembre que e^{0}=1.
Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=4 e^{0}+9\cdot 0\cdot e^{0}+1=4\cdot 1+0+1=5.
Calcule \frac{\partial f}{\partial y}(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=4\cdot 0\cdot e^{0}+9 e^{0}+1=0+9\cdot 1+1=10.
Logo
\nabla f(0,0)=(5,10).
Explicação rápida de significado: o gradiente no ponto dá a direção de crescimento máximo de f e é perpendicular às curvas de nível de f nesse ponto — isso será útil na parte (b).

Passo 4

Agora a derivada direcional. Definição e fórmula prática:
  • A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar do gradiente por um vetor unitário na direção desejada.
Como o enunciado deu \vec{v}=(3,4), primeiro normalizamos para obter a unidade \mathbf{u}.
Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Então o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 5

Calcule o produto escalar \nabla f(0,0)\cdot \mathbf{u}:
D_{\vec{v}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot \mathbf{u}=(5,10)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Compute componente a componente:
(5)\cdot\frac{3}{5} + (10)\cdot\frac{4}{5}=3+8=11.
Portanto, a derivada direcional pedida na parte (a) é 11.

Passo 6

Parte (b): reta tangente à curva de nível f(x,y)=0 em (0,0).
Conceito: para uma curva de nível f(x,y)=c, o gradiente \nabla f no ponto é normal (perpendicular) à curva. Assim a reta tangente no ponto tem direção perpendicular ao gradiente — ou seja, se \nabla f(0,0)=(A,B), um vetor diretor da reta tangente é qualquer (t_1,t_2) tal que A t_1 + B t_2 = 0.
No nosso caso \nabla f(0,0)=(5,10). Podemos encontrar a inclinação m da tangente usando a fórmula da derivada implícita (quando \frac{\partial f}{\partial y}\neq 0):
\frac{dy}{dx}\Big|_{(0,0)} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)} = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}.
Ou, de forma equivalente, impondo perpendicularidade: se a reta tem vetor diretor (1,m), então
(5,10)\cdot(1,m)=5+10m=0 \implies m=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Escreva a equação da reta tangente que passa por (0,0) com inclinação m=-\frac{1}{2}. A forma ponto-declive dá:
y = -\frac{1}{2}x + b,
como ela passa por (0,0), temos b=0. Portanto a reta é
y = -\frac{1}{2}x.

Resposta

(a) 11
(b) y=-\dfrac{1}{2}x

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