Questão 2. A temperatura em uma placa de metal é dada por T(x, y)=20-2 x^{2}-y^{2}, com x centímetros e a temperatura T em { }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a direção de maior crescimento da tem a partir do ponto \left(3,-\frac{5}{2}\right) ? E qual é a taxa de maior crescimento nesse mesmo pont
Passo 1
O enunciado dá a temperatura na placa por T(x,y)=20-2x^{2}-y^{2}, com x em centímetros e T em {}^\circ\mathrm{C}. O ponto onde vamos avaliar é \left(3,-\tfrac{5}{2}\right).
As perguntas são:
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto \left(3,-\tfrac{5}{2}\right)?
Qual é a taxa de maior crescimento (ou seja, a taxa máxima de variação) nesse mesmo ponto?
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
A taxa de variação de uma função T(x,y) numa direção unitária \mathbf{u} é dada pela derivada direcional
Aqui \nabla T(x,y) é o gradiente de T, que é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla T(x,y)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x},\dfrac{\partial T}{\partial y}\right). O ponto \mathbf{u} é um vetor unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) que indica direção. O produto escalar \cdot dá a projeção do gradiente nessa direção, ou seja a taxa de variação nessa direção.
Intuição: o gradiente aponta para a direção em que a função cresce mais rapidamente; o módulo \|\nabla T\| é a taxa máxima de crescimento. Vou mostrar por que isso é verdade usando a fórmula da derivada direcional.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de T(x,y)=20-2x^{2}-y^{2}.
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{u}. Isso é máximo quando \cos\theta=1, i.e. \theta=0, ou seja quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \mathbf{a}. O valor máximo é \|\mathbf{a}\|.
Aplicando isso com \mathbf{a}=\nabla T, concluímos:
A direção de maior crescimento é a direção do vetor \nabla T.
A taxa máxima de crescimento é \|\nabla T\|.
Passo 6
Calcule a direção unitária (vetor de comprimento 1) e a taxa máxima no ponto.
Primeiro a magnitude de \nabla T\!\left(3,-\tfrac{5}{2}\right)=(-12,5):
Isso significa que, a partir do ponto dado, movendo-se numa pequena distância s nessa direção a temperatura aumenta aproximadamente 13\cdot s graus Celsius.
A taxa máxima de crescimento (o máximo de D_{\mathbf{u}}T) é a magnitude do gradiente:
\|\nabla T\|=13.
Unidade: {}^\circ\mathrm{C} por centímetro, porque T está em {}^\circ\mathrm{C} e x,y em cm.