Questão 2. A temperatura em uma placa de metal é dada por T(x, y)=20-2 x^{2}-y^{2}, com x centímetros e a temperatura T em { }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a direção de maior crescimento da tem a partir do ponto \left(3,-\frac{5}{2}\right) ? E qual é a taxa de maior crescimento nesse mesmo pont

Passo 1

O enunciado dá a temperatura na placa por T(x,y)=20-2x^{2}-y^{2}, com x em centímetros e T em {}^\circ\mathrm{C}. O ponto onde vamos avaliar é \left(3,-\tfrac{5}{2}\right).
As perguntas são:
  1. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto \left(3,-\tfrac{5}{2}\right)?
  2. Qual é a taxa de maior crescimento (ou seja, a taxa máxima de variação) nesse mesmo ponto?

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • A taxa de variação de uma função T(x,y) numa direção unitária \mathbf{u} é dada pela derivada direcional
D_{\mathbf{u}}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla T(x,y) é o gradiente de T, que é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla T(x,y)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x},\dfrac{\partial T}{\partial y}\right). O ponto \mathbf{u} é um vetor unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) que indica direção. O produto escalar \cdot dá a projeção do gradiente nessa direção, ou seja a taxa de variação nessa direção.
  • Intuição: o gradiente aponta para a direção em que a função cresce mais rapidamente; o módulo \|\nabla T\| é a taxa máxima de crescimento. Vou mostrar por que isso é verdade usando a fórmula da derivada direcional.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de T(x,y)=20-2x^{2}-y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(20-2x^{2}-y^{2}\bigr)= -4x.
Explicação: tratamos y como constante e derivamos -2x^{2} obtendo -4x; 20 e -y^{2} são constantes em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(20-2x^{2}-y^{2}\bigr)= -2y.
Explicação: tratamos x como constante; a derivada de -y^{2} é -2y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla T(x,y)=(-4x,\,-2y).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto \left(3,-\tfrac{5}{2}\right).
Substituindo x=3 e y=-\tfrac{5}{2}:
\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{(3,-\tfrac{5}{2})} = -4\cdot 3 = -12,
\frac{\partial T}{\partial y}\Big|_{(3,-\tfrac{5}{2})} = -2\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)= +5.
Logo
\nabla T\!\left(3,-\tfrac{5}{2}\right)=(-12,\,5).

Passo 5

Mostro por que \nabla T é a direção de maior crescimento e como obter a taxa máxima.
  • Para qualquer vetor unitário \mathbf{u} temos D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u}.
  • Pelo teorema do produto escalar, para vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{u}\|\cos\theta = \|\mathbf{a}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{u}. Isso é máximo quando \cos\theta=1, i.e. \theta=0, ou seja quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \mathbf{a}. O valor máximo é \|\mathbf{a}\|.
Aplicando isso com \mathbf{a}=\nabla T, concluímos:
  • A direção de maior crescimento é a direção do vetor \nabla T.
  • A taxa máxima de crescimento é \|\nabla T\|.

Passo 6

Calcule a direção unitária (vetor de comprimento 1) e a taxa máxima no ponto.
  • Primeiro a magnitude de \nabla T\!\left(3,-\tfrac{5}{2}\right)=(-12,5):
\bigl\|(-12,5)\bigr\|=\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
  • A direção de maior crescimento (vetor unitário) é o gradiente dividido pela sua magnitude:
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{1}{13}(-12,5)=\left(-\frac{12}{13},\,\frac{5}{13}\right).á
Isso significa que, a partir do ponto dado, movendo-se numa pequena distância s nessa direção a temperatura aumenta aproximadamente 13\cdot s graus Celsius.
  • A taxa máxima de crescimento (o máximo de D_{\mathbf{u}}T) é a magnitude do gradiente:
\|\nabla T\|=13.
Unidade: {}^\circ\mathrm{C} por centímetro, porque T está em {}^\circ\mathrm{C} e x,y em cm.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{12}{13},\,\frac{5}{13}\right)\n \displaystyle 13\\ \;{}^\circ\mathrm{C}\!/ \mathrm{cm}

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