Questão 6 Determine os valores de x para que os vetores \vec{a}=x \vec{i}+3 \vec{j}+\vec{k} e \vec{b}=3 \vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k} sejam perpendiculares

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os valores de x para que os vetores \vec{a}=x\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k} e \vec{b}=3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} sejam perpendiculares.”
Informações relevantes dadas:
  • \vec{a} tem componentes \bigl(a_x,a_y,a_z\bigr) = \bigl(x,\,3,\,1\bigr).
  • \vec{b} tem componentes \bigl(b_x,b_y,b_z\bigr) = \bigl(3,\,1,\,2\bigr).
  • A incógnita a determinar é x.

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo): quando dois vetores em \mathbb{R}^3 são perpendiculares (ortogonais), o produto escalar entre eles é zero.
Definição do produto escalar para vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z):
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Aqui cada termo é o produto das componentes correspondentes, e depois somam-se. A condição de ortogonalidade é:
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: tomei \vec{a} e \vec{b} e substituí as componentes.
As componentes são \;a_x=x,\;a_y=3,\;a_z=1\; e \;b_x=3,\;b_y=1,\;b_z=2\;.

Passo 4

Calcule o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} multiplicando componentes correspondentes e somando:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Substituindo os valores:
\vec{a}\cdot\vec{b}=x\cdot 3 + 3\cdot 1 + 1\cdot 2.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3x + 3 + 2 = 3x + 5.
Para que \vec{a} e \vec{b} sejam perpendiculares, impõe-se \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Assim:
3x + 5 = 0.

Passo 6

Resolva a equação para x:
3x + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -\dfrac{5}{3}.
Verificação rápida: com x=-\dfrac{5}{3}, temos \vec{a}\cdot\vec{b}=3\!\left(-\dfrac{5}{3}\right)+5 = -5+5=0, portanto está correto.

Resposta

\displaystyle x=-\dfrac{5}{3}

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