Questão 2: Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo semicone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo semicone z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Superfície 1 (paraboloide): z = x^{2}+y^{2}.
  • Superfície 2 (semicone): z = 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui “semicone” indica a parte do cone com z\ge0.
  • O sólido é a região do espaço entre essas duas superfícies, limitada onde elas se intersectam. Precisamos calcular o volume dessa região.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) e integração dupla/tripla. Por quê? Porque as duas superfícies dependem apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, têm simetria circular em torno do eixo z. Coordenadas polares simplificam muito as expressões e os limites: em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Aqui r é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar. Vou explicar a seguir como usar isso para montar o integral do volume.

Passo 3

Achar a curva de interseção entre as superfícies para definir os limites radiais. Igualamos as expressões para z:
x^{2}+y^{2}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Em coordenadas polares isso vira
r^{2}=2r.
Resolvendo:
r^{2}-2r=0\quad\Rightarrow\quad r(r-2)=0.
Portanto r=0 ou r=2. A interseção não é só o ponto r=0 (o vértice), mas uma curva circular de raio r=2. Logo, a região projetada no plano xy é o disco de raio \,2: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Forma do integral de volume: para um sólido compreendido entre as superfícies z=z_{\text{inf}}(x,y) e z=z_{\text{sup}}(x,y), uma forma conveniente é
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}}(x,y)-z_{\text{inf}}(x,y)\bigr)\,dA,
onde D é a projeção no plano xy (aqui o disco de raio 2). Em coordenadas polares o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta (vou explicar por que no próximo passo). No nosso caso:
  • z_{\text{sup}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2r,
  • z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} = r^{2},
    e D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi\}.
    Assim o integral para o volume fica
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r - r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Por que apareceu o fator extra r (o jacobiano)? Rápida explicação didática: ao fazer a mudança de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o elemento de área cartesiano dA=dx\,dy transforma para
dA = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.
Intuitivamente, um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta (porque o comprimento na direção angular é r\,\Delta\theta). Por isso sempre que mudamos para polares aparece esse fator r.

Passo 6

Agora cálculo do integral interno (integrando em r primeiro). O integrando já simplificado é
(2r - r^{2})\,r = 2r^{2} - r^{3}.
Integramos de r=0 até r=2:
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{2}-r^{3}\bigr)\,dr = 2\int_{0}^{2} r^{2}\,dr - \int_{0}^{2} r^{3}\,dr.
Calcule as primitivas:
\int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3},\qquad \int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}.
Aplicando os limites:
2\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} - \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = 2\cdot\frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{4}}{4}.
Compute passo a passo:
2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad 2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
2^{4}=16\quad\Rightarrow\quad \frac{16}{4}=4.
Então o resultado da integral em r é
\frac{16}{3} - 4 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 7

Agora integramos em \theta sobre o intervalo 0\le\theta\le2\pi. Como o resultado da integral em r não depende de \theta, temos
V = \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{4}{3}\right)\,d\theta = \frac{4}{3}\cdot\bigl(\theta\bigr)\Big|_{0}^{2\pi} = \frac{4}{3}\cdot 2\pi.
Multiplicando:
V = \frac{8\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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