Questão 2: Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo semicone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo semicone z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Superfície 1 (paraboloide): z = x^{2}+y^{2}.
Superfície 2 (semicone): z = 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui “semicone” indica a parte do cone com z\ge0.
O sólido é a região do espaço entre essas duas superfícies, limitada onde elas se intersectam. Precisamos calcular o volume dessa região.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) e integração dupla/tripla. Por quê? Porque as duas superfícies dependem apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, têm simetria circular em torno do eixo z. Coordenadas polares simplificam muito as expressões e os limites: em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta\in[0,2\pi).
Aqui r é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar. Vou explicar a seguir como usar isso para montar o integral do volume.
Passo 3
Achar a curva de interseção entre as superfícies para definir os limites radiais. Igualamos as expressões para z:
x^{2}+y^{2}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Em coordenadas polares isso vira
r^{2}=2r.
Resolvendo:
r^{2}-2r=0\quad\Rightarrow\quad r(r-2)=0.
Portanto r=0 ou r=2. A interseção não é só o ponto r=0 (o vértice), mas uma curva circular de raio r=2. Logo, a região projetada no plano xy é o disco de raio \,2: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 4
Forma do integral de volume: para um sólido compreendido entre as superfícies z=z_{\text{inf}}(x,y) e z=z_{\text{sup}}(x,y), uma forma conveniente é
onde D é a projeção no plano xy (aqui o disco de raio 2). Em coordenadas polares o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta (vou explicar por que no próximo passo). No nosso caso:
z_{\text{sup}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2r,
z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} = r^{2},
e D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi\}.
Assim o integral para o volume fica
Por que apareceu o fator extra r (o jacobiano)? Rápida explicação didática: ao fazer a mudança de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o elemento de área cartesiano dA=dx\,dy transforma para
dA = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.
Intuitivamente, um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta (porque o comprimento na direção angular é r\,\Delta\theta). Por isso sempre que mudamos para polares aparece esse fator r.
Passo 6
Agora cálculo do integral interno (integrando em r primeiro). O integrando já simplificado é