Verifique primeiramente que o ponto P pertence à curva dada e ache a equação da reta tangente à curva no ponto P .
x y=-16, P=(-2,8)

Passo 1

O enunciado dá a curva \;x y = -16, e o ponto P=(-2,8). Precisamos (1) verificar que P pertence à curva e (2) encontrar a reta tangente a essa curva em P. O conteúdo necessário é diferenciação implícita.

Passo 2

Para verificar que P pertence à curva, substituímos x=-2 e y=8 em x y = -16:
(-2)\cdot 8 = -16,
o que confirma que P está na curva.

Passo 3

Derivamos implicitamente a equação x y = -16. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x y) = x \frac{dy}{dx} + y = 0.
Isolando \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.

Passo 4

Avaliamo-s a derivada em P. Como x_P=-2 e y_P=8, temos
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{P} = -\frac{8}{-2} = 4.

Passo 5

A equação da reta tangente em P usa a forma ponto-declive:
y - y_P = m\,(x - x_P).
Substituindo x_P=-2, y_P=8 e m=4:
y - 8 = 4\,(x + 2) \quad\Longrightarrow\quad y - 8 = 4x + 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 4x + 16.

Resposta

A reta tangente à curva em P é
y = 4x + 16.

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