Calcule todos os valores de
para que
seja real.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
tais que a expressão
é um número real.
Informações dadas: é um número real e a expressão complexa indicada deve resultar em número real.
Informações dadas:
Passo 2
Primeira verificação prática: o denominador
não pode ser zero. Como
é real,
exigiria parte real
, o que é impossível. Logo o denominador é sempre não nulo para qualquer
. Podemos operar normalmente.
Passo 3
Conceito importante que vamos usar: um número complexo escrito na forma
(com
) é real se, e somente se, sua parte imaginária for zero, isto é, se
. Exemplo rápido:
é real (parte imaginária
), enquanto
não é (parte imaginária
).
Passo 4
Para pôr a fração numa forma
e identificar a parte imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
. Assim:
Passo 5
Calculemos o denominador e o numerador separadamente. Denominador:
Observe que
para todo
, então não há problema em dividir por isso.
Passo 6
Agora o numerador, fazendo FOIL (distribuição):
Calcule termo a termo:
Somando tudo:
Passo 7
Dividindo numerador e denominador obtém-se a forma padrão:
Portanto a parte imaginária dessa fração é
Passo 8
Para que a expressão seja real precisamos da parte imaginária igual a zero. Assim:
Como
para todo
, a fração é zero exatamente quando o numerador é zero:
Passo 9
Verificação rápida (controle): para
temos
(real). Para
temos
(real). Ambos funcionam.