Calcule todos os valores de \boldsymbol{a} \in \mathbb{R} para que \frac{\boldsymbol{a}-\boldsymbol{i}}{1-\boldsymbol{a} \boldsymbol{i}} seja real.
Escolha uma opção:
◯ a. a=-1
◯ b. a=1
◯ c. a= \pm 2
◯ d. a=0
◯ e. a= \pm 1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de a\in\mathbb{R} tais que a expressão
\frac{a-i}{1-ai}
é um número real.
Informações dadas: a é um número real e a expressão complexa indicada deve resultar em número real.

Passo 2

Primeira verificação prática: o denominador 1-ai não pode ser zero. Como a é real, 1-ai=0 exigiria parte real 1=0, o que é impossível. Logo o denominador é sempre não nulo para qualquer a\in\mathbb{R}. Podemos operar normalmente.

Passo 3

Conceito importante que vamos usar: um número complexo escrito na forma x+yi (com x,y\in\mathbb{R}) é real se, e somente se, sua parte imaginária for zero, isto é, se y=0. Exemplo rápido: 3+0i é real (parte imaginária 0), enquanto 2+i não é (parte imaginária 1).

Passo 4

Para pôr a fração numa forma x+yi e identificar a parte imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é 1+ai. Assim:
\frac{a-i}{1-ai}=\frac{(a-i)(1+ai)}{(1-ai)(1+ai)}.

Passo 5

Calculemos o denominador e o numerador separadamente. Denominador:
(1-ai)(1+ai)=1+(ai)(-ai)=1+a^2.
Observe que 1+a^2>0 para todo a\in\mathbb{R}, então não há problema em dividir por isso.

Passo 6

Agora o numerador, fazendo FOIL (distribuição):
(a-i)(1+ai)=a\cdot1 + a\cdot(ai) - i\cdot1 - i\cdot(ai).
Calcule termo a termo:
a\cdot1=a,
a\cdot(ai)=a^2 i,
-i\cdot1=-i,
-i\cdot(ai)=-a i^2=-a(-1)=+a.
Somando tudo:
(a-i)(1+ai)=a + a^2 i - i + a = 2a + (a^2-1)i.

Passo 7

Dividindo numerador e denominador obtém-se a forma padrão:
\frac{a-i}{1-ai}=\frac{2a}{1+a^2} + \frac{a^2-1}{1+a^2}\,i.
Portanto a parte imaginária dessa fração é
\frac{a^2-1}{1+a^2}.

Passo 8

Para que a expressão seja real precisamos da parte imaginária igual a zero. Assim:
\frac{a^2-1}{1+a^2}=0.
Como 1+a^2>0 para todo a\in\mathbb{R}, a fração é zero exatamente quando o numerador é zero:
a^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad a^2=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm 1.

Passo 9

Verificação rápida (controle): para a=1 temos \frac{1-i}{1-i}=1 (real). Para a=-1 temos \frac{-1-i}{1+ i}=-1 (real). Ambos funcionam.

Resposta

a=\pm 1

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