Questão 4. (3,0) O diâmetro de barras de aço manufaturadas em duas máquinas de extrusão está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n_{1}=15 e n_{2}=17 são selecionadas, e as médias e variâncias amostrais são \bar{x}_{1}=8,73, s_{1}^{2}=0,35, \bar{x}_{2}=8,68 e s_{2}^{2}=0,40, respectivamente. Supondo que os dados provêm de um modelo normal com mesma variância entre as amostras, encontre um intervalo de confiança de 95 \% para a diferença entre as médias das duas máquinas e responda se é possível dizer que as máquinas produzem, em média, peças com mesmo diâmetro. Justifique todas as passagens!

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados (vou listar exatamente os números dados):
  • Tamanhos das amostras: n_{1}=15 e n_{2}=17.
  • Médias amostrais: \bar{x}_{1}=8,73 e \bar{x}_{2}=8,68.
  • Variâncias amostrais: s_{1}^{2}=0,35 e s_{2}^{2}=0,40.
  • Pressuposto dado: os dados vêm de distribuições normais e as variâncias são iguais entre as amostras.
O que o problema pede:
  1. Encontrar um intervalo de confiança de 95\% para a diferença entre as médias das duas máquinas, isto é para \mu_{1}-\mu_{2}.
  2. A partir desse intervalo, responder se é possível dizer que as máquinas produzem, em média, peças com o mesmo diâmetro (justificar).

Passo 2

Qual método usar e por quê (justificação): como o enunciado assume normalidade e igualdade das variâncias, o procedimento padrão é usar o intervalo de confiança baseado na variância agrupada (pooled) — o chamado intervalo t para a diferença de duas médias com variâncias iguais. Vou explicar a fórmula e cada termo antes de calcular.
Fórmula do intervalo (ideia): o intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu_{1}-\mu_{2} é
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm t_{\alpha/2,\nu}\cdot \text{SE},
onde:
  • \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é a diferença observada entre médias amostrais;
  • t_{\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t de Student (tabela) com \nu graus de liberdade, tal que P(T>t_{\alpha/2,\nu})=\alpha/2;
  • \text{SE} é o erro padrão da diferença das médias, calculado usando a variância agrupada quando se assume variâncias iguais.
Agora detalho como obter \text{SE} e \nu.

Passo 3

Cálculo da variância agrupada s_{p}^{2} e dos graus de liberdade: a variância agrupada é a média ponderada das variâncias amostrais:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Substituindo os números dados:
s_{p}^{2}=\frac{(15-1)\cdot 0,35 + (17-1)\cdot 0,40}{15+17-2} =\frac{14\cdot 0,35 + 16\cdot 0,40}{30}.
Faço as multiplicações:
14\cdot 0,35 = 4,90,\qquad 16\cdot 0,40 = 6,40.
Portanto
s_{p}^{2}=\frac{4,90+6,40}{30}=\frac{11,30}{30}=0,376\overline{6}.
A raiz é a estimativa do desvio padrão comum:
s_{p}=\sqrt{0,376\overline{6}}\approx 0,6138.
Os graus de liberdade usados na t são
\nu = n_{1}+n_{2}-2 = 15+17-2 = 30.

Passo 4

Cálculo do erro padrão da diferença das médias \text{SE}: a fórmula é
\text{SE}=s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}.
Calculo a soma dos inversos:
\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}=\frac{1}{15}+\frac{1}{17}=\frac{17+15}{15\cdot17}=\frac{32}{255}\approx 0,1254902.
A raiz dessa soma:
\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{17}}\approx 0,35426.
Multiplico por s_{p}:
\text{SE}\approx 0,6138\times 0,35426 \approx 0,21746.

Passo 5

Determinar o valor crítico t_{\alpha/2,\nu} para 95\% de confiança: aqui \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Com \nu=30, o quantil é
t_{0,025,30}\approx 2,042.
(esse valor vem de uma tabela da distribuição t ou calculadora estatística: é o ponto tal que P(T>2,042)=0,025 para T\sim t_{30}.)

Passo 6

Montar o intervalo: a diferença amostral é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=8,73-8,68=0,05.
O erro máximo (margem) é
\text{ME}=t_{0,025,30}\cdot\text{SE}\approx 2,042\times 0,21746\approx 0,4441.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm \text{ME} =0,05 \pm 0,4441.
Calculando os limites:
\text{limite inferior}=0,05-0,4441\approx -0,3941, \qquad \text{limite superior}=0,05+0,4441\approx 0,4941.
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
\text{IC}_{95\%}\text{ para }\mu_{1}-\mu_{2}\approx \left[-0,394;\;0,494\right].

Passo 7

Interpretação e resposta à pergunta sobre médias iguais (justificação): o intervalo de confiança contém o valor 0. Isso significa que, com nível de confiança de 95\%, diferenças nulas entre as médias são compatíveis com os dados; não há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias das duas máquinas sejam diferentes ao nível de 5\%. Em linguagem prática: não se pode rejeitar que \mu_{1}=\mu_{2} — portanto, é plausível que as máquinas produzam, em média, peças com o mesmo diâmetro, dado o tamanho das amostras e a variabilidade observada.
Observação física: o intervalo é relativamente largo em comparação com a diferença observada de 0,05, o que indica que, com as amostras atuais, a incerteza é grande o suficiente para não detectar uma diferença pequena.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}: \left[-0,394;\;0,494\right]
Conclusão sobre médias iguais: Não é possível afirmar que as máquinas produzem médias diferentes; o intervalo contém 0, logo não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de diferença entre as médias.

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