Questão 4.
O diâmetro de barras de aço manufaturadas em duas máquinas de extrusão está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos
e
são selecionadas, e as médias e variâncias amostrais são
e
, respectivamente. Supondo que os dados provêm de um modelo normal com mesma variância entre as amostras, encontre um intervalo de confiança de
para a diferença entre as médias das duas máquinas e responda se é possível dizer que as máquinas produzem, em média, peças com mesmo diâmetro. Justifique todas as passagens!
Passo 1
O enunciado fornece claramente os seguintes dados (vou listar exatamente os números dados):
- Tamanhos das amostras:
e . - Médias amostrais:
e . - Variâncias amostrais:
e . - Pressuposto dado: os dados vêm de distribuições normais e as variâncias são iguais entre as amostras.
O que o problema pede:
- Encontrar um intervalo de confiança de
para a diferença entre as médias das duas máquinas, isto é para . - A partir desse intervalo, responder se é possível dizer que as máquinas produzem, em média, peças com o mesmo diâmetro (justificar).
Passo 2
Qual método usar e por quê (justificação): como o enunciado assume normalidade e igualdade das variâncias, o procedimento padrão é usar o intervalo de confiança baseado na variância agrupada (pooled) — o chamado intervalo
para a diferença de duas médias com variâncias iguais. Vou explicar a fórmula e cada termo antes de calcular.
Fórmula do intervalo (ideia): o intervalo de confiança de
para
é
onde:
-
é a diferença observada entre médias amostrais; -
é o quantil da distribuição de Student (tabela) com graus de liberdade, tal que ; -
é o erro padrão da diferença das médias, calculado usando a variância agrupada quando se assume variâncias iguais.
Agora detalho como obter
e
.
Passo 3
Cálculo da variância agrupada
e dos graus de liberdade: a variância agrupada é a média ponderada das variâncias amostrais:
Substituindo os números dados:
Faço as multiplicações:
Portanto
A raiz é a estimativa do desvio padrão comum:
Os graus de liberdade usados na
são
Passo 4
Cálculo do erro padrão da diferença das médias
: a fórmula é
Calculo a soma dos inversos:
A raiz dessa soma:
Multiplico por
:
Passo 5
Determinar o valor crítico
para
de confiança: aqui
e
. Com
, o quantil é
(esse valor vem de uma tabela da distribuição
ou calculadora estatística: é o ponto tal que
para
.)
Passo 6
Montar o intervalo: a diferença amostral é
O erro máximo (margem) é
Portanto o intervalo de confiança de
é
Calculando os limites:
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
Passo 7
Interpretação e resposta à pergunta sobre médias iguais (justificação): o intervalo de confiança contém o valor
. Isso significa que, com nível de confiança de
, diferenças nulas entre as médias são compatíveis com os dados; não há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias das duas máquinas sejam diferentes ao nível de
. Em linguagem prática: não se pode rejeitar que
— portanto, é plausível que as máquinas produzam, em média, peças com o mesmo diâmetro, dado o tamanho das amostras e a variabilidade observada.
Observação física: o intervalo é relativamente largo em comparação com a diferença observada de
, o que indica que, com as amostras atuais, a incerteza é grande o suficiente para não detectar uma diferença pequena.
Resposta
Intervalo de confiança de
para
:
Conclusão sobre médias iguais: Não é possível afirmar que as máquinas produzem médias diferentes; o intervalo contém
, logo não há evidência estatística, ao nível de
, de diferença entre as médias.