Questão 1. (2,5) Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
k 1 2 3 4 5
P(X=k) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
(a) (1,0) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X];
(b) (1,5) Seja \bar{X}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right) / n a média amostral das n observações X_{1}, \ldots, X_{n}. Use o Teorema Central do Limite (TCL) para determinar o menor valor de n para o qual
P(|\bar{X}-\mu|<0,1) \geq 0,95 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (tirei direto dos dados do enunciado):
  • Tem-se variáveis i.i.d. X_{1},\dots,X_{n} com mesma distribuição de uma variável discreta X que assume os valores 1,2,3,4,5 com probabilidades iguais P(X=k)=0,2 para cada k.
  • Pergunta (a): determinar \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X].
  • Pergunta (b): com \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}, usar o Teorema Central do Limite para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<0,1\bigr)\geq 0,95.
Essas são todas as informações relevantes; a resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Calcular a esperança \mu=E[X].
Fórmula para esperança de variável discreta: E[X]=\sum_{k} k\;P(X=k).
Aqui há cinco valores com mesma probabilidade 0,2. Então
E[X]=(1+2+3+4+5)\times 0,2.
Calculemos a soma: 1+2+3+4+5=15. Portanto
E[X]=15\times 0,2=3.
Interpretação curta: a média da distribuição é 3.

Passo 3

Calcular a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X].
Fórmula prática: \operatorname{Var}[X]=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}. Primeiro achamos E[X^{2}]:
E[X^{2}]=\sum_{k} k^{2}\;P(X=k)=(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2})\times 0,2.
Some os quadrados: 1+4+9+16+25=55. Então
E[X^{2}]=55\times 0,2=11.
Agora a variância:
\operatorname{Var}[X]=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}=11-3^{2}=11-9=2.
Portanto \sigma^{2}=2. A raiz padrão é \sigma=\sqrt{2}\approx 1,4142 (vou usar \sqrt{2} nas contas exatas).

Passo 4

Explicar e aplicar o Teorema Central do Limite (TCL) ao problema.
O TCL diz, de forma prática para nós: quando n é grande, a distribuição da média amostral \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Ou seja,
\bar{X}\\ \stackrel{\text{aprox.}}{\sim}\\ N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Para usar essa aproximação transformamos em uma variável normal padrão Z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\\ \approx\\ N(0,1).
Assim a probabilidade pedida transforma-se em probabilidade para Z.

Passo 5

Converter a desigualdade de probabilidade em termo de Z e achar o quantil necessário.
Queremos
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<0,1\bigr)\geq 0,95.
Pela padronização:
P\Bigl(\bigl|Z\bigr|<\frac{0,1\sqrt{n}}{\sigma}\Bigr)\geq 0,95.
Para a normal padrão, o número z_{0} que satisfaz P(|Z|<z_{0})=0,95 é o quantil z_{0}=1,96 (valor tabelado habitual para nível de confiança 95\%). Portanto precisamos ter
\frac{0,1\sqrt{n}}{\sigma}\geq 1,96.

Passo 6

Isolar n na desigualdade e substituir \sigma=\sqrt{2}.
Da desigualdade anterior:
0,1\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\geq 1,96 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\geq \frac{1,96\,\sigma}{0,1}.
Elevando ao quadrado:
n\geq\left(\frac{1,96\,\sigma}{0,1}\right)^{2}.
Substituindo \sigma^{2}=2 (ou \sigma=\sqrt{2}):
n\geq\left(\frac{1,96\sqrt{2}}{0,1}\right)^{2}.

Passo 7

Fazer as contas numéricas passo a passo e arredondar para o menor inteiro que satisfaz.
Calcule 1,96^{2}:
1,96^{2}=3,8416.
Então
n\geq \frac{1,96^{2}\times 2}{0,1^{2}}=\frac{3,8416\times 2}{0,01}=\frac{7,6832}{0,01}=768,32.
Como n deve ser inteiro e queremos o menor n que satisfaça a desigualdade, tomamos o próximo inteiro superior:
n=769.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo.
Portanto, usando a aproximação normal pelo TCL, precisamos de n=769 observações para garantir aproximadamente que a média amostral esteja a menos de 0,1 da média verdadeira com probabilidade ao menos 0,95. Dá para fazer — é um número grande, mas agora você sabe exatamente de onde vem esse cálculo. Força nos estudos, você está indo bem!

Resposta

\mu=3,\\ \sigma^{2}=2
n_{\min}=769

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