Questão 1. (2,5) Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
k
1
2
3
4
5
P(X=k)
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
(a) (1,0) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X];
(b) (1,5) Seja \bar{X}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right) / n a média amostral das n observações X_{1}, \ldots, X_{n}. Use o Teorema Central do Limite (TCL) para determinar o menor valor de n para o qual
P(|\bar{X}-\mu|<0,1) \geq 0,95 .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (tirei direto dos dados do enunciado):
Tem-se variáveis i.i.d. X_{1},\dots,X_{n} com mesma distribuição de uma variável discreta X que assume os valores 1,2,3,4,5 com probabilidades iguais P(X=k)=0,2 para cada k.
Pergunta (a): determinar \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X].
Pergunta (b): com \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}, usar o Teorema Central do Limite para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<0,1\bigr)\geq 0,95.
Essas são todas as informações relevantes; a resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Calcular a esperança \mu=E[X].
Fórmula para esperança de variável discreta: E[X]=\sum_{k} k\;P(X=k).
Aqui há cinco valores com mesma probabilidade 0,2. Então
E[X]=(1+2+3+4+5)\times 0,2.
Calculemos a soma: 1+2+3+4+5=15. Portanto
E[X]=15\times 0,2=3.
Interpretação curta: a média da distribuição é 3.
Passo 3
Calcular a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X].
Fórmula prática: \operatorname{Var}[X]=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2}. Primeiro achamos E[X^{2}]:
Portanto \sigma^{2}=2. A raiz padrão é \sigma=\sqrt{2}\approx 1,4142 (vou usar \sqrt{2} nas contas exatas).
Passo 4
Explicar e aplicar o Teorema Central do Limite (TCL) ao problema.
O TCL diz, de forma prática para nós: quando n é grande, a distribuição da média amostral \bar{X} é aproximadamente normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Ou seja,
Para a normal padrão, o número z_{0} que satisfaz P(|Z|<z_{0})=0,95 é o quantil z_{0}=1,96 (valor tabelado habitual para nível de confiança 95\%). Portanto precisamos ter
\frac{0,1\sqrt{n}}{\sigma}\geq 1,96.
Passo 6
Isolar n na desigualdade e substituir \sigma=\sqrt{2}.
Da desigualdade anterior:
Como n deve ser inteiro e queremos o menor n que satisfaça a desigualdade, tomamos o próximo inteiro superior:
n=769.
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo.
Portanto, usando a aproximação normal pelo TCL, precisamos de n=769 observações para garantir aproximadamente que a média amostral esteja a menos de 0,1 da média verdadeira com probabilidade ao menos 0,95. Dá para fazer — é um número grande, mas agora você sabe exatamente de onde vem esse cálculo. Força nos estudos, você está indo bem!