Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por A_{i} (i=1,2,3) o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo i. Suponha que
  • P\left(A_{1}\right)=0.12, P\left(A_{2}\right)=0.07, P\left(A_{3}\right)=0.05
  • P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=0.13, P\left(A_{1} \cup A_{3}\right)=0.14, P\left(A_{2} \cup A_{3}\right)=0.10
  • P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right)=0.01
Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o sistema não apresente falha do tipo 1?
(b) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2?
(c) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2 , mas não do tipo 3?
(d) Qual a probabilidade de que o sistema tenha no máximo duas falhas?
(e) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha falha do tipo 2 ?
(f) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha todos os tipos de falha?
(g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
(h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2 , qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para não nos perdermos (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • P(A_{1}) = 0,12
  • P(A_{2}) = 0,07
  • P(A_{3}) = 0,05
  • P(A_{1}\cup A_{2}) = 0,13
  • P(A_{1}\cup A_{3}) = 0,14
  • P(A_{2}\cup A_{3}) = 0,10
  • P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) = 0,01
O enunciado pede:
(a) P(\text{sistema não apresente falha do tipo 1})ã
(b) P(A_{1}\\ \text{e}\\ A_{2}) (i.e., P(A_{1}\cap A_{2}))
(c) P(A_{1}\\ \text{e}\\ A_{2}\\ \text{e não}\\ A_{3})ã (i.e., P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}))
(d) P(\text{no máximo duas falhas})á
(e) P(A_{2}\mid A_{1})
(f) P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\mid A_{1})
(g) P(\text{exatamente uma falha}\mid \text{pelo menos uma falha})
(h) P(\text{não apresentar o tipo 3}\mid A_{1}\cap A_{2})ã

Passo 2

Primeiro precisamos dos cortes de intersecção de pares P(A_{i}\cap A_{j}). Vamos usar a fórmula básica de união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Isolando P(A\cap B) obtemos
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Aplicando isso aos pares:
  • Para A_{1} e A_{2}:
P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cup A_{2}) = 0,12+0,07-0,13 = 0,06.
  • Para A_{1} e A_{3}:
P(A_{1}\cap A_{3}) = 0,12+0,05-0,14 = 0,03.
  • Para A_{2} e A_{3}:
P(A_{2}\cap A_{3}) = 0,07+0,05-0,10 = 0,02.
Anote: agora temos todas as interseções de pares e a interseção tripla.

Passo 3

(a) Probabilidade de que o sistema não apresente falha do tipo 1.
Conceito: a probabilidade do complemento de um evento A é P(A^{c})=1-P(A). Isso vem do fato de que A e A^{c} são disjuntos e cobrem todo o espaço.
Portanto
P(A_{1}^{c}) = 1 - P(A_{1}) = 1 - 0,12 = 0,88.

Passo 4

(b) Probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2.
Já calculamos isso no Passo 2:
P(A_{1}\cap A_{2}) = 0,06.

Passo 5

(c) Probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2, mas não do tipo 3.
Evento pedido: A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}. Usamos a identidade:
P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) + P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}).
Isolando o termo desejado:
P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}) = P(A_{1}\cap A_{2}) - P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}).
Substituindo:
P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}) = 0,06 - 0,01 = 0,05.

Passo 6

(d) Probabilidade de que o sistema tenha no máximo duas falhas.
“Máximo duas falhas” significa que não ocorra o caso de ter as três falhas simultaneamente. Assim é o complementar do evento “as três falhas ocorrem”. Então:
P(\text{no máximo duas}) = 1 - P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) = 1 - 0,01 = 0,99.á

Passo 7

(e) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha falha do tipo 2?
Definição (condicional): para dois eventos A e B com P(A)>0,
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Aqui:
P(A_{2}\mid A_{1}) = \frac{P(A_{1}\cap A_{2})}{P(A_{1})} = \frac{0,06}{0,12} = 0,5.
Interpretação rápida: dado que ocorreu a falha 1, há 50\% de chance de também ocorrer a falha 2.

Passo 8

(f) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha todos os tipos de falha?
Usamos a mesma definição de probabilidade condicional:
P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\mid A_{1}) = \frac{P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{1})} = \frac{0,01}{0,12} = \frac{1}{12} \approx 0,08333.

Passo 9

(g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
Passo 9.1 — calcular P(\text{pelo menos um}) = P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}). Para três eventos a fórmula de inclusão-exclusão é:
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Aplicando:
P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}) = 0,12+0,07+0,05 - 0,06-0,03-0,02 + 0,01.
Calcule passo a passo:
0,12+0,07+0,05 = 0,24,
0,06+0,03+0,02 = 0,11,
0,24 - 0,11 + 0,01 = 0,14.
Logo P(\text{pelo menos um}) = 0,14.
Passo 9.2 — calcular P(\text{exatamente um}). “Exatamente um” é a união disjunta dos eventos "apenas A_{1}", "apenas A_{2}", "apenas A_{3}". Para cada "apenas A_{i}" usamos:
P(\text{apenas }A_{1}) = P(A_{1}) - P(A_{1}\cap A_{2}) - P(A_{1}\cap A_{3}) + P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),
porque subtraímos as interseções duplas (que foram contadas em P(A_{1})), mas a interseção tripla foi subtraída duas vezes então precisamos somá-la de volta.
Calcule:
  • P(\text{apenas }A_{1}) = 0,12 - 0,06 - 0,03 + 0,01 = 0,04.
  • P(\text{apenas }A_{2}) = 0,07 - 0,06 - 0,02 + 0,01 = 0,00.
  • P(\text{apenas }A_{3}) = 0,05 - 0,03 - 0,02 + 0,01 = 0,01.
Somando:
P(\text{exatamente um}) = 0,04 + 0,00 + 0,01 = 0,05.
Passo 9.3 — finalmente a probabilidade condicional pedida:
P(\text{exatamente um}\mid \text{pelo menos um}) = \frac{P(\text{exatamente um})}{P(\text{pelo menos um})} = \frac{0,05}{0,14} = \frac{5}{14} \approx 0,35714.

Passo 10

(h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2, qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?
Procuramos P(A_{3}^{c}\mid A_{1}\cap A_{2}). Usamos a definição condicional:
P(A_{3}^{c}\mid A_{1}\cap A_{2}) = \frac{P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c})}{P(A_{1}\cap A_{2})}.
Já calculamos P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}) = 0,05 e P(A_{1}\cap A_{2})=0,06. Então:
P(A_{3}^{c}\mid A_{1}\cap A_{2}) = \frac{0,05}{0,06} = \frac{5}{6} \approx 0,83333.

Resposta

(a) 0,88
(b) 0,06
(c) 0,05
(d) 0,99
(e) 0,5
(f) \dfrac{1}{12}\approx0,08333
(g) \dfrac{5}{14}\approx0,35714
(h) \dfrac{5}{6}\approx0,83333

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