Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por
o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo
. Suponha que
-
-
-
Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o sistema não apresente falha do tipo 1?
(b) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2?
(c) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2 , mas não do tipo 3?
(d) Qual a probabilidade de que o sistema tenha no máximo duas falhas?
(e) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha falha do tipo 2 ?
(f) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha todos os tipos de falha?
(g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
(h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2 , qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?
(a) Qual a probabilidade de que o sistema não apresente falha do tipo 1?
(b) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2?
(c) Qual a probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2 , mas não do tipo 3?
(d) Qual a probabilidade de que o sistema tenha no máximo duas falhas?
(e) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha falha do tipo 2 ?
(f) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha todos os tipos de falha?
(g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
(h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2 , qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para não nos perdermos (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
O enunciado pede:
(a)
(b) (i.e.,
)
(c) (i.e.,
)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 2
Primeiro precisamos dos cortes de intersecção de pares
. Vamos usar a fórmula básica de união de dois eventos:
Isolando
obtemos
Aplicando isso aos pares:
- Para
e :
- Para
e :
- Para
e :
Anote: agora temos todas as interseções de pares e a interseção tripla.
Passo 3
(a) Probabilidade de que o sistema não apresente falha do tipo 1.
Conceito: a probabilidade do complemento de um evento
é
. Isso vem do fato de que
e
são disjuntos e cobrem todo o espaço.
Portanto
Passo 4
(b) Probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2.
Já calculamos isso no Passo 2:
Passo 5
(c) Probabilidade de que o sistema tenha falhas do tipo 1 e 2, mas não do tipo 3.
Evento pedido:
. Usamos a identidade:
Isolando o termo desejado:
Substituindo:
Passo 6
(d) Probabilidade de que o sistema tenha no máximo duas falhas.
“Máximo duas falhas” significa que não ocorra o caso de ter as três falhas simultaneamente. Assim é o complementar do evento “as três falhas ocorrem”. Então:
Passo 7
(e) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha falha do tipo 2?
Definição (condicional): para dois eventos
e
com
,
Aqui:
Interpretação rápida: dado que ocorreu a falha 1, há
de chance de também ocorrer a falha 2.
Passo 8
(f) Sabendo que o sistema tem falha do tipo 1, qual a probabilidade de que ele tenha todos os tipos de falha?
Usamos a mesma definição de probabilidade condicional:
Passo 9
(g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
Passo 9.1 — calcular
. Para três eventos a fórmula de inclusão-exclusão é:
Aplicando:
Calcule passo a passo:
Logo
.
Passo 9.2 — calcular
. “Exatamente um” é a união disjunta dos eventos "apenas
", "apenas
", "apenas
". Para cada "apenas
" usamos:
porque subtraímos as interseções duplas (que foram contadas em
), mas a interseção tripla foi subtraída duas vezes então precisamos somá-la de volta.
Calcule:
Somando:
Passo 9.3 — finalmente a probabilidade condicional pedida:
Passo 10
(h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2, qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?
Procuramos
. Usamos a definição condicional:
Já calculamos
e
. Então:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)