Questão 1) O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanho n_{1}=15 e n_{2}=17 são selecionadas e as médias e as variâncias são \overline{x_{1}}=8,73, s_{1}^{2}=0,34 \mathrm{e} \overline{x_{2}}=8,68 \mathrm{e} s_{2}^{2}=0,41, respectivamente. Suponha que os dados foram retirados de uma população normal. Existe diferença entre os diâmetros médios produzidos pelas duas máquinas? Use \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de diâmetros de bastões, uma de tamanho n_{1}=15 com \overline{x}_{1}=8,73 e s_{1}^{2}=0,34, e outra de tamanho n_{2}=17 com \overline{x}_{2}=8,68 e s_{2}^{2}=0,41. Queremos testar, a nível de significância \alpha=0,05, se há diferença entre as médias \mu_{1} e \mu_{2}. O conteúdo usado é o teste t para duas amostras independentes com variâncias possivelmente iguais.

Passo 2

Primeiro verificamos se podemos assumir variâncias iguais. Usamos o teste F bilateral:
F = \frac{\max(s_{1}^{2},\,s_{2}^{2})}{\min(s_{1}^{2},\,s_{2}^{2})} = \frac{0,41}{0,34}\approx1,206.
Os graus de liberdade são d_{1}=n_{L}-1=16 e d_{2}=n_{S}-1=14. As cotas críticas são
F_{0,975}(16,14)\approx2,65 \quad\text{e}\quad F_{0,025}(16,14)=\frac{1}{F_{0,975}(14,16)}\approx0,38.
Como 0,38 < 1,206 < 2,65, não rejeitamos H_{0} de igualdade de variâncias. Então usamos variância combinada.

Passo 3

Calculamos a variância agrupada
s_{p}^{2} = \frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2} + (n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} = \frac{14\cdot0,34 + 16\cdot0,41}{15+17-2} = \frac{4,76 + 6,56}{30} \approx0,3773,
e o desvio padrão conjunto s_{p}=\sqrt{0,3773}\approx0,614.

Passo 4

Agora o estatístico de teste é
t = \frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}} {s_{p}\,\sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}} = \frac{8,73 - 8,68}{0,614\,\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{17}}} \approx \frac{0,05}{0,2176} \approx0,23.
Os graus de liberdade valem n_{1}+n_{2}-2=30 e o valor crítico bilateral é
t_{0,975}(30)\approx2,042.

Passo 5

Comparamos \lvert t\rvert =0,23 com 2,042. Como \lvert t\rvert < 2,042, não rejeitamos H_{0}.

Resposta

Não há evidência significativa, a \alpha=0,05, de diferença entre os diâmetros médios produzidos pelas duas máquinas.

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