Exercício 13: Dois quadrados de lado 0,5 \mathrm{~m} de lado são posicionados perpendicularmente com uma aresta comum. A superfície 1, pertencente a aresta em comum, tem temperatura de 1000 K e emissividade 0,6 , enquanto a superfície 2 comporta-se como um corpo negro. O conjunto é colocado dentro de uma sala muito grande a 300 K . Determine a temperatura da superfície 2 e o calor perdido pela superfície 1 mantida a 1000 K .

Passo 1

O enunciado descreve duas superfícies quadradas idênticas de lado 0,5\\ \mathrm{m} (logo área A=0,25\\ \mathrm{m}^2), montadas em ângulo reto e imersas num recinto a T_\infty=300\\ \mathrm{K}. A superfície 1 tem emissividade \varepsilon_1=0,6 e é mantida a T_1=1000\\ \mathrm{K}. A superfície 2 é corpo negro ( \varepsilon_2=1) e está em equilíbrio térmico (isto é, não absorve nem gera calor líquido). Queremos determinar a temperatura T_2 da superfície 2 e o fluxo de calor perdido por 1. Para resolver, vamos usar o método das resistências radiativas entre nós de radiação, empregando fatores de forma.

Passo 2

Como as duas faces estão em ângulo reto e têm aresta comum, temos
F_{1\to 2}=F_{2\to1}=\tfrac12,
e portanto
F_{1\to\infty}=1-F_{1\to2}=\tfrac12,\quad F_{2\to\infty}=1-F_{2\to1}=\tfrac12.

Passo 3

Montamos o circuito de radiação com três nós de potencial \,E_{b1}=\sigma T_1^4, \,E_{b2}=\sigma T_2^4 e \,E_{b\infty}=\sigma T_\infty^4. As “resistências” (em \mathrm{m}^{-2}) entre esses nós são
R_{1\infty}=\frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1\,A}+\frac{1}{A\,F_{1\to\infty}} =\frac{0{,}4}{0{,}6\cdot0{,}25}+\frac{1}{0{,}25\cdot0{,}5}=2{,}6667+8=10{,}6667,
R_{12}=\frac{1}{A\,F_{1\to2}} =\frac{1}{0{,}25\cdot0{,}5}=8,
R_{2\infty}=\frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2\,A}+\frac{1}{A\,F_{2\to\infty}} =0+\frac{1}{0{,}25\cdot0{,}5}=8.

Passo 4

Em equilíbrio, a superfície 2 não troca calor líquido, logo a soma das correntes saindo de E_{b2} é zero:
\frac{E_{b2}-E_{b1}}{R_{12}} +\frac{E_{b2}-E_{b\infty}}{R_{2\infty}}=0 \quad\Longrightarrow\quad E_{b2}=\frac{E_{b1}+E_{b\infty}}{2}.

Passo 5

Usando
E_{b1}=\sigma\,T_1^4 =\bigl(5{,}67\times10^{-8}\bigr)\,(1000)^4 =5{,}67\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2},
E_{b\infty}=\sigma\,T_\infty^4 =\bigl(5{,}67\times10^{-8}\bigr)\,(300)^4 \approx45{,}93\\ \mathrm{W/m^2},
temos
E_{b2} =\frac{5{,}67\times10^{4}+45{,}93}{2} \approx2{,}836\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}.
Logo
T_2 =\biggl(\frac{E_{b2}}{\sigma}\biggr)^{1/4} \approx840{,}8\\ \mathrm{K}.

Passo 6

O calor perdido por 1 é a soma das correntes de E_{b1} para E_{b2} e para E_{b\infty}:
\dot Q_1 =\frac{E_{b1}-E_{b2}}{R_{12}} +\frac{E_{b1}-E_{b\infty}}{R_{1\infty}} =\frac{5{,}67\times10^{4}-2{,}837\times10^{4}}{8} +\frac{5{,}67\times10^{4}-45{,}93}{10{,}6667} \approx3{,}541\times10^{3}+5{,}313\times10^{3} =8{,}854\times10^{3}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A superfície 2 atinge T_2\approx840{,}8\\ \mathrm{K} e a superfície 1 perde aproximadamente 8{,}85\\ \mathrm{kW}.

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