Questão 6: Difusão em Microcapilar (Geometria Cilíndrica)
Dois solutos são colocados em contato dentro de um tubo capilar de vidro muito fino e longo. O sistema é mantido em repouso (sem escoamento). Deseja-se saber como a concentração varia ao longo do comprimento do tubo (z) após longo tempo de contato,
sabendo que as extremidades do tubo são conectadas a reservatórios com concentrações distintas e constantes.
sabendo que as extremidades do tubo são conectadas a reservatórios com concentrações distintas e constantes.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos (apenas identifiquei, sem resolver ainda).
- Pede: descobrir como a concentração varia ao longo do eixo do tubo, isto é achar
após “longo tempo de contato” quando as extremidades do tubo estão presas a reservatórios com concentrações constantes e distintas. - Informações dadas / presumidas (peguei do enunciado):
- O tubo é muito fino (raio pequeno) e muito longo.
- Não há escoamento do fluido (sistema em repouso).
- As extremidades estão conectadas a reservatórios que mantêm concentrações constantes e diferentes; vou chamar essas concentrações de
(em ) e (em ). Aqui é o comprimento do trecho do tubo entre os reservatórios (o enunciado não deu numericamente, então usarei a letra ). - Há difusão molecular caracterizada por um coeficiente de difusão
(assumo constante).
- Objetivo prático: obter
no regime de “longo tempo” (ou seja, regime estacionário).
Passo 2
Equação que governa o problema (introdução da física/matemática necessária).
- Para difusão sem advecção, a equação de transporte é a segunda lei de Fick (equação de difusão):
onde:
-
é a concentração, -
é o coeficiente de difusão (assumido constante), -
é o laplaciano espacial (soma das segundas derivadas espaciais). - Explicando: o lado esquerdo mede como a concentração muda no tempo; o lado direito mede quanto a concentração “se espalha” espacialmente. Em regime de longo tempo, quando o perfil não muda mais no tempo, devemos ter estado estacionário.
Passo 3
Condição de estado estacionário e sua consequência matemática.
- Em regime de longo tempo
não depende mais de . Logo e a equação vira a equação de Laplace (condição de equilíbrio difusivo):
- Isso significa que a soma das segundas derivadas espaciais é nula em cada ponto do domínio.
Passo 4
Reduzindo a equação ao caso prático do tubo fino: argumento físico para considerar somente variação ao longo de
.
- Em coordenadas cilíndricas
o laplaciano é
- O tubo é simétrico em
e muito fino em . Além disso, o enunciado fala em “após longo tempo”: a difusão radial (escala de comprimento raio ) tem um tempo característico , enquanto a difusão axial tem tempo . Como , tem-se . Ou seja, radialmente a concentração se mistura muito mais rápido do que ao longo do tubo. - Conclusão física: após longo tempo a concentração é praticamente uniforme na seção transversal (independe de
e ). Então podemos desprezar as derivadas em e e ficar com variação só em . Matematicamente:
Passo 5
Resolver a equação reduzida em
com as condições de contorno.
- Temos agora a equação ordinária
- Integramos uma vez:
onde
é uma constante (fluxo constante dividido por
, veremos isso depois).
- Integramos de novo:
onde
é outra constante de integração.
- Aplicamos as condições de contorno que vêm dos reservatórios:
- em
: implica ; - em
: implica .
- em
- Resolvendo para
:
- Substituindo em
obtemos o perfil final:
Passo 6
Interpretação física e comentário sobre fluxo de massa (útil para prova).
- Interpretação: o perfil é linear entre as concentrações impostas nas extremidades; isso é esperado em regime estacionário sem fonte nem sumidouro dentro do tubo. A inclinação é proporcional à diferença de concentrações e inversamente proporcional ao comprimento.
- Fluxo de massa constante axial: pela primeira lei de Fick, o fluxo molar (por unidade de área) em
é
Como
(constante), o fluxo é
Sinal: se
(mais concentração em
), então
no sentido de
positivo (massa flui de
para
), e vice-versa.
Passo 7
Resumo prático do que fazer numa prova (passo-a-passo rápido para repetir):
- Escreve a equação de difusão
. - Diz “longo tempo” → regime estacionário
. - Justifica redução a uma dimensão (tubo fino) com argumento de tempos característicos
e ; como usa-se . - Resolve
aplicando as condições , e obtém o perfil linear. - (Opcional) calcula o fluxo com
.