Questão 6: Difusão em Microcapilar (Geometria Cilíndrica)

Dois solutos são colocados em contato dentro de um tubo capilar de vidro muito fino e longo. O sistema é mantido em repouso (sem escoamento). Deseja-se saber como a concentração varia ao longo do comprimento do tubo (z) após longo tempo de contato,
sabendo que as extremidades do tubo são conectadas a reservatórios com concentrações distintas e constantes.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos (apenas identifiquei, sem resolver ainda).
  • Pede: descobrir como a concentração varia ao longo do eixo do tubo, isto é achar c(z) após “longo tempo de contato” quando as extremidades do tubo estão presas a reservatórios com concentrações constantes e distintas.
  • Informações dadas / presumidas (peguei do enunciado):
    • O tubo é muito fino (raio pequeno) e muito longo.
    • Não há escoamento do fluido (sistema em repouso).
    • As extremidades estão conectadas a reservatórios que mantêm concentrações constantes e diferentes; vou chamar essas concentrações de \,c(0)=c_A (em z=0) e \,c(L)=c_B (em z=L). Aqui L é o comprimento do trecho do tubo entre os reservatórios (o enunciado não deu L numericamente, então usarei a letra L).
    • Há difusão molecular caracterizada por um coeficiente de difusão D (assumo D constante).
  • Objetivo prático: obter c(z) no regime de “longo tempo” (ou seja, regime estacionário).

Passo 2

Equação que governa o problema (introdução da física/matemática necessária).
  • Para difusão sem advecção, a equação de transporte é a segunda lei de Fick (equação de difusão):
\frac{\partial c}{\partial t}=D\nabla^2 c,
onde:
  • \,c(\mathbf{x},t) é a concentração,
  • \,D é o coeficiente de difusão (assumido constante),
  • \nabla^2 é o laplaciano espacial (soma das segundas derivadas espaciais).
  • Explicando: o lado esquerdo mede como a concentração muda no tempo; o lado direito mede quanto a concentração “se espalha” espacialmente. Em regime de longo tempo, quando o perfil não muda mais no tempo, devemos ter estado estacionário.

Passo 3

Condição de estado estacionário e sua consequência matemática.
  • Em regime de longo tempo c não depende mais de t. Logo \partial c/\partial t=0 e a equação vira a equação de Laplace (condição de equilíbrio difusivo):
\nabla^2 c=0.
  • Isso significa que a soma das segundas derivadas espaciais é nula em cada ponto do domínio.

Passo 4

Reduzindo a equação ao caso prático do tubo fino: argumento físico para considerar somente variação ao longo de z.
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) o laplaciano é
\nabla^2 c=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial c}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 c}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}.
  • O tubo é simétrico em \theta e muito fino em r. Além disso, o enunciado fala em “após longo tempo”: a difusão radial (escala de comprimento \sim raio a) tem um tempo característico \,t_r\sim a^2/D, enquanto a difusão axial tem tempo \,t_z\sim L^2/D. Como a\ll L, tem-se t_r\ll t_z. Ou seja, radialmente a concentração se mistura muito mais rápido do que ao longo do tubo.
  • Conclusão física: após longo tempo a concentração é praticamente uniforme na seção transversal (independe de r e \theta). Então podemos desprezar as derivadas em r e \theta e ficar com variação só em z. Matematicamente:
\nabla^2 c \approx \frac{d^2 c}{dz^2}=0.

Passo 5

Resolver a equação reduzida em z com as condições de contorno.
  • Temos agora a equação ordinária
\frac{d^2 c}{dz^2}=0.
  • Integramos uma vez:
\frac{d c}{dz}=A,
onde A é uma constante (fluxo constante dividido por -D, veremos isso depois).
  • Integramos de novo:
c(z)=A z + B,
onde B é outra constante de integração.
  • Aplicamos as condições de contorno que vêm dos reservatórios:
    • em z=0: c(0)=c_A implica B=c_A;
    • em z=L: c(L)=c_B implica A L + B = c_B.
  • Resolvendo para A:
A=\frac{c_B-c_A}{L}.
  • Substituindo em c(z) obtemos o perfil final:
c(z)=c_A + \frac{c_B-c_A}{L}\,z.

Passo 6

Interpretação física e comentário sobre fluxo de massa (útil para prova).
  • Interpretação: o perfil é linear entre as concentrações impostas nas extremidades; isso é esperado em regime estacionário sem fonte nem sumidouro dentro do tubo. A inclinação é proporcional à diferença de concentrações e inversamente proporcional ao comprimento.
  • Fluxo de massa constante axial: pela primeira lei de Fick, o fluxo molar (por unidade de área) em z é
J_z=-D\frac{d c}{dz}.
Como \dfrac{d c}{dz}=\dfrac{c_B-c_A}{L} (constante), o fluxo é
J_z=-D\frac{c_B-c_A}{L}.
Sinal: se c_B<c_A (mais concentração em z=0), então J_z>0 no sentido de z positivo (massa flui de 0 para L), e vice-versa.

Passo 7

Resumo prático do que fazer numa prova (passo-a-passo rápido para repetir):
  • Escreve a equação de difusão \partial c/\partial t = D\nabla^2 c.
  • Diz “longo tempo” → regime estacionário \Rightarrow \nabla^2 c=0.
  • Justifica redução a uma dimensão (tubo fino) com argumento de tempos característicos t_r\sim a^2/D e t_z\sim L^2/D; como a\ll L usa-se \partial/\partial r\approx0.
  • Resolve \dfrac{d^2 c}{dz^2}=0 aplicando as condições c(0)=c_A, c(L)=c_B e obtém o perfil linear.
  • (Opcional) calcula o fluxo com J_z=-D\,dc/dz.

Resposta

c(z)=c_A+\frac{c_B-c_A}{L}\,z

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