Questão 4: Secagem de Grãos (Geometria Esférica - Transiente)

Em um processo de secagem, grãos de soja (esféricos) são expostos a uma corrente de ar quente. A umidade interna migra para a superfície por difusão pura. Não há reação química. No tempo zero, a umidade é máxima e uniforme. Considere que a resistência externa à transferência de massa é desprezível (a superfície do grão atinge o equilíbrio com o ar imediatamente).

Passo 1

O enunciado descreve um grão esférico de raio R com difusão interna de umidade (difusão molecular pura, coeficiente de difusão D constante). As condições dadas são:
  • No tempo inicial a umidade é uniforme: c(r,0)=c_0 para 0\le r\le R.
  • A resistência externa é desprezível, então a superfície do grão atinge imediatamente o equilíbrio com o ar; isto implica que a umidade na superfície é constante e igual a c_s: c(R,t)=c_s para t>0.
  • Simetria esférica (dependência apenas de r) e comportamento regular no centro: condição de regularidade em r=0.
O que se pede (o objetivo que vou resolver passo a passo):
  • Obter a solução transiente para a distribuição de umidade c(r,t) dentro da esfera.
  • Obter a evolução da umidade média no grão \overline{c}(t) (ou, de forma equivalente, a razão de umidade adimensional MR(t)=\dfrac{\overline{c}(t)-c_s}{c_0-c_s}).
  • Dar uma aproximação de longo prazo (primeiro modo dominante) e interpretar as grandezas adimensionais relevantes.

Passo 2

Escrever a equação de difusão em coordenadas esféricas com simetria radial e as condições de contorno.
A equação da difusão (conservação de massa com condutividade constante) em simetria radial é
\frac{\partial c}{\partial t}=D\left(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial c}{\partial r}\Big)\right),\qquad 0<r<R,\; t>0.
Condições:
c(r,0)=c_0,\qquad 0\le r\le R,
\frac{\partial c}{\partial r}(0,t)=0\quad(\text{regularidade no centro}),
c(R,t)=c_s\quad(\text{superfície em equilíbrio com o ar}).íí
Explicação didática curta: a expressão entre parênteses é o laplaciano radial em coordenadas esféricas para uma função que depende só de r. A condição no centro evita singularidade e decorre da simetria. A condição na superfície é de tipo Dirichlet (valor fixo).

Passo 3

Homogeneizar a condição de contorno na superfície para facilitar a solução por separação de variáveis.
Defina a variável de perturbação
u(r,t)=c(r,t)-c_s.
Então u satisfaz a mesma equação de difusão, com condição de contorno homogênea na superfície:
\frac{\partial u}{\partial t}=D\left(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial u}{\partial r}\Big)\right),
u(r,0)=c_0-c_s\equiv u_0,
\frac{\partial u}{\partial r}(0,t)=0,\qquad u(R,t)=0.
Motivação: ter u(R,t)=0 torna a busca por autovalores/eigenfunções mais direta.

Passo 4

Aplicar separação de variáveis: procurar soluções do tipo u(r,t)=X(r)T(t).
Substituindo na PDE e dividindo, obtém-se
\frac{1}{D}\frac{T'}{T}=\frac{1}{X r^{2}}\big(r^{2}X'\big)'=-\lambda^{2},
onde \lambda^{2} é a constante de separação (positiva para modos decrescentes). Assim
T(t)=\mathrm{e}^{-D\lambda^{2}t},
e o problema espacial é
\big(r^{2}X'\big)'+\lambda^{2}r^{2}X=0.
Explicação didática: a separação leva a duas equações ordinárias; a temporal é exponencial decaindo com taxa D\lambda^{2} e a espacial define os modos radiais admissíveis.

Passo 5

Resolver a equação radial. Fazendo a substituição usual X(r)=\dfrac{\varphi(r)}{r} (ou reconhecendo a equação de esfera), obtemos solução geral
X(r)=A\frac{\sin(\lambda r)}{r}+B\frac{\cos(\lambda r)}{r}.
Regularidade em r=0 exige B=0 (o termo com \cos(\lambda r)/r diverge em r=0), então
X(r)=A\frac{\sin(\lambda r)}{r}.
Aplicando X(R)=0 (condição na superfície) dá \sin(\lambda R)=0, logo os autovalores são
\lambda_n=\frac{n\pi}{R},\qquad n=1,2,\ldots
e os autovetores (modos) são proporcionais a \dfrac{\sin\!\big(\tfrac{n\pi r}{R}\big)}{r}.
Comentário didático: para este problema de Dirichlet na superfície, as condições levam a autovalores simples \lambda_n igualmente espaçados; em problemas com convecção na superfície os autovalores seriam solução de uma equação transcendente (ex.: \tan\alpha=\alpha/\text{Bi}), mas aqui, por resistência externa desprezível, ficou simples.

Passo 6

Escrever a solução geral como série de modos e aplicar a condição inicial para determinar os coeficientes.
A solução geral para u é soma dos modos:
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\frac{\sin\!\big(\tfrac{n\pi r}{R}\big)}{r}\,\mathrm{e}^{-D\left(\tfrac{n\pi}{R}\right)^{2}t}.
No tempo t=0 tem-se
u_0=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\frac{\sin\!\big(\tfrac{n\pi r}{R}\big)}{r}.
Para encontrar A_n multiplicamos ambos os lados por r\sin\!\big(\tfrac{m\pi r}{R}\big) e integramos r de 0 a R. Isso usa a ortogonalidade (com peso r^{2}) dos modos no domínio esférico.
Calculemos a integral auxiliar (com k=\tfrac{m\pi}{R}):
\int_{0}^{R}r\sin(k r)\,dr = \Big[-\frac{r\cos(k r)}{k}+\frac{\sin(k r)}{k^{2}}\Big]_{0}^{R} = -\frac{R\cos(kR)}{k} = -\frac{R(-1)^{m}}{k},
pois \sin(kR)=\sin(m\pi)=0 e \cos(kR)=\cos(m\pi)=(-1)^{m}.
Também é útil:
\int_{0}^{R}\sin^{2}\!\big(\tfrac{m\pi r}{R}\big)\,dr=\frac{R}{2},
pois os termos oscilatórios se anulam para m inteiro.
Usando esses resultados e realizando as contas (detalhes algébricos abaixo), obtemos
A_n=-\frac{2u_0 R(-1)^n}{n\pi}.
Rápida verificação das contas (resumo do cálculo dos coeficientes):
  • Produto escalar no lado direito dá \int_{0}^{R}\sin^{2}(\tfrac{n\pi r}{R})\,dr=R/2.
  • Produto escalar no lado esquerdo dá u_0\int_{0}^{R}r\sin(\tfrac{n\pi r}{R})\,dr=-u_0 R(-1)^n/k com k=n\pi/R.
  • Dividindo, chega-se a A_n=-2u_0 R(-1)^n/(n\pi).

Passo 7

Escrever a solução completa c(r,t) (voltando de u para c) com os coeficientes encontrados.
Lembrando u(r,t)=c(r,t)-c_s e u_0=c_0-c_s, a solução é
c(r,t)=c_s+(c_0-c_s)\;2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{R}{n\pi}\cdot\frac{\sin\!\big(\tfrac{n\pi r}{R}\big)}{r}\;\mathrm{e}^{-D\left(\tfrac{n\pi}{R}\right)^{2}t}.
Explicação prática: cada termo da série é um “modo” espacial com decaimento exponencial temporal; quanto maior n, mais rápido decai (taxa \propto n^{2}). Para uso prático, frequentemente bastam poucos termos para boa precisão em tempos moderados a grandes.

Passo 8

Calcular a umidade média no grão \overline{c}(t) e a razão adimensional MR(t).
A umidade média é
\overline{c}(t)=\frac{3}{R^{3}}\int_{0}^{R}c(r,t)\,r^{2}\,dr.
Substituindo a série e realizando as integrais (usando novamente \int_{0}^{R}r\sin(\tfrac{n\pi r}{R})\,dr=-R(-1)^n/k com k=n\pi/R), obtém-se uma expressão simples para a razão adimensional
MR(t)\equiv\frac{\overline{c}(t)-c_s}{c_0-c_s} =\frac{6}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\exp\!\Big(-\frac{D n^{2}\pi^{2}t}{R^{2}}\Big).
Didática: esse MR(t) é prático porque não depende do detalhe espacial, apenas do tempo; para t=0 a soma vale 1 (pode ser verificado usando série de Fourier) e para t\to\infty tende a zero, como esperado.

Passo 9

Dar a aproximação de primeiro modo (modo dominante) e interpretar a adimensionalização.
Para tempos moderados a grandes, o primeiro termo n=1 domina a série. Assim a aproximação de primeiro modo é
MR(t)\approx\frac{6}{\pi^{2}}\exp\!\Big(-\frac{D\pi^{2}t}{R^{2}}\Big).
É útil definir o número de Fourier (adimensional do tempo)
\mathrm{Fo}=\frac{D t}{R^{2}},
então a forma do primeiro modo fica MR\approx\dfrac{6}{\pi^{2}}\mathrm{e}^{-\pi^{2}\mathrm{Fo}}.
Interpretação física: \mathrm{Fo} compara o tempo de difusão característico R^{2}/D com o tempo real t. Quando \mathrm{Fo}\gg 1 (muito tempo relativo à difusão interna), o grão está quase seco internamente (MR próximo de zero).

Passo 10

Observações práticas para prova e como aplicar rapidamente em um exercício.
  • Se o enunciado pede só a evolução média ( \overline{c}(t) ou MR), memorize a fórmula:
MR(t)=\frac{6}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\exp\!\Big(-\frac{D n^{2}\pi^{2}t}{R^{2}}\Big).
  • Para estimativas rápidas de tempo para secagem a um fator, use a aproximação de primeiro modo e resolva \mathrm{e}^{-\pi^{2}\mathrm{Fo}} \approx valor desejado ajustando pelo fator 6/\pi^{2}.
  • Se for pedido o perfil espacial c(r,t), apresente a série do Passo 7; para cálculo numérico truncar a soma em alguns termos (3–10) costuma ser suficiente dependendo do tempo.
  • Se em alguma variação do problema a superfície não fosse mantida fixa (por ex. convecção externa não desprezível), a condição em r=R mudaria (condição de terceira espécie) e os autovalores seriam raiz de uma equação transcendente — atenção a isso na prova.

Resposta

c(r,t)=c_s+(c_0-c_s)\;2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{R}{n\pi}\cdot\frac{\sin\!\big(\tfrac{n\pi r}{R}\big)}{r}\;\mathrm{e}^{-D\left(\tfrac{n\pi}{R}\right)^{2}t}
MR(t)\equiv\frac{\overline{c}(t)-c_s}{c_0-c_s} =\frac{6}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\exp\!\Big(-\frac{D n^{2}\pi^{2}t}{R^{2}}\Big)
\text{(aproximação de primeiro modo)}\qquad MR(t)\approx\frac{6}{\pi^{2}}\exp\!\Big(-\frac{D\pi^{2}t}{R^{2}}\Big).çã

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