Questão 4: Secagem de Grãos (Geometria Esférica - Transiente)
Em um processo de secagem, grãos de soja (esféricos) são expostos a uma corrente de ar quente. A umidade interna migra para a superfície por difusão pura. Não há reação química. No tempo zero, a umidade é máxima e uniforme. Considere que a resistência externa à transferência de massa é desprezível (a superfície do grão atinge o equilíbrio com o ar imediatamente).
Passo 1
O enunciado descreve um grão esférico de raio
com difusão interna de umidade (difusão molecular pura, coeficiente de difusão
constante). As condições dadas são:
- No tempo inicial a umidade é uniforme:
para . - A resistência externa é desprezível, então a superfície do grão atinge imediatamente o equilíbrio com o ar; isto implica que a umidade na superfície é constante e igual a
: para . - Simetria esférica (dependência apenas de
) e comportamento regular no centro: condição de regularidade em .
O que se pede (o objetivo que vou resolver passo a passo):
- Obter a solução transiente para a distribuição de umidade
dentro da esfera. - Obter a evolução da umidade média no grão
(ou, de forma equivalente, a razão de umidade adimensional ). - Dar uma aproximação de longo prazo (primeiro modo dominante) e interpretar as grandezas adimensionais relevantes.
Passo 2
Escrever a equação de difusão em coordenadas esféricas com simetria radial e as condições de contorno.
A equação da difusão (conservação de massa com condutividade constante) em simetria radial é
Condições:
Explicação didática curta: a expressão entre parênteses é o laplaciano radial em coordenadas esféricas para uma função que depende só de
. A condição no centro evita singularidade e decorre da simetria. A condição na superfície é de tipo Dirichlet (valor fixo).
Passo 3
Homogeneizar a condição de contorno na superfície para facilitar a solução por separação de variáveis.
Defina a variável de perturbação
Então
satisfaz a mesma equação de difusão, com condição de contorno homogênea na superfície:
Motivação: ter
torna a busca por autovalores/eigenfunções mais direta.
Passo 4
Aplicar separação de variáveis: procurar soluções do tipo
.
Substituindo na PDE e dividindo, obtém-se
onde
é a constante de separação (positiva para modos decrescentes). Assim
e o problema espacial é
Explicação didática: a separação leva a duas equações ordinárias; a temporal é exponencial decaindo com taxa
e a espacial define os modos radiais admissíveis.
Passo 5
Resolver a equação radial. Fazendo a substituição usual
(ou reconhecendo a equação de esfera), obtemos solução geral
Regularidade em
exige
(o termo com
diverge em
), então
Aplicando
(condição na superfície) dá
, logo os autovalores são
e os autovetores (modos) são proporcionais a
.
Comentário didático: para este problema de Dirichlet na superfície, as condições levam a autovalores simples
igualmente espaçados; em problemas com convecção na superfície os autovalores seriam solução de uma equação transcendente (ex.:
), mas aqui, por resistência externa desprezível, ficou simples.
Passo 6
Escrever a solução geral como série de modos e aplicar a condição inicial para determinar os coeficientes.
A solução geral para
é soma dos modos:
No tempo
tem-se
Para encontrar
multiplicamos ambos os lados por
e integramos
de
a
. Isso usa a ortogonalidade (com peso
) dos modos no domínio esférico.
Calculemos a integral auxiliar (com
):
pois
e
.
Também é útil:
pois os termos oscilatórios se anulam para
inteiro.
Usando esses resultados e realizando as contas (detalhes algébricos abaixo), obtemos
Rápida verificação das contas (resumo do cálculo dos coeficientes):
- Produto escalar no lado direito dá
. - Produto escalar no lado esquerdo dá
com . - Dividindo, chega-se a
.
Passo 7
Escrever a solução completa
(voltando de
para
) com os coeficientes encontrados.
Lembrando
e
, a solução é
Explicação prática: cada termo da série é um “modo” espacial com decaimento exponencial temporal; quanto maior
, mais rápido decai (taxa
). Para uso prático, frequentemente bastam poucos termos para boa precisão em tempos moderados a grandes.
Passo 8
Calcular a umidade média no grão
e a razão adimensional
.
A umidade média é
Substituindo a série e realizando as integrais (usando novamente
com
), obtém-se uma expressão simples para a razão adimensional
Didática: esse
é prático porque não depende do detalhe espacial, apenas do tempo; para
a soma vale
(pode ser verificado usando série de Fourier) e para
tende a zero, como esperado.
Passo 9
Dar a aproximação de primeiro modo (modo dominante) e interpretar a adimensionalização.
Para tempos moderados a grandes, o primeiro termo
domina a série. Assim a aproximação de primeiro modo é
É útil definir o número de Fourier (adimensional do tempo)
então a forma do primeiro modo fica
.
Interpretação física:
compara o tempo de difusão característico
com o tempo real
. Quando
(muito tempo relativo à difusão interna), o grão está quase seco internamente (MR próximo de zero).
Passo 10
Observações práticas para prova e como aplicar rapidamente em um exercício.
- Se o enunciado pede só a evolução média (
ou ), memorize a fórmula:
- Para estimativas rápidas de tempo para secagem a um fator, use a aproximação de primeiro modo e resolva
valor desejado ajustando pelo fator . - Se for pedido o perfil espacial
, apresente a série do Passo 7; para cálculo numérico truncar a soma em alguns termos (3–10) costuma ser suficiente dependendo do tempo. - Se em alguma variação do problema a superfície não fosse mantida fixa (por ex. convecção externa não desprezível), a condição em
mudaria (condição de terceira espécie) e os autovalores seriam raiz de uma equação transcendente — atenção a isso na prova.