Questão 4: Um disco homogêneo de raio R e massa M rola sem deslizar por um plano inclinado a partir do repouso. Despreze a resistência do ar. 30pts
a) Calcule a velocidade final do centro de massa do disco ao final do trajeto.

Passo 1

Resumo do problema e conceitos necessários: temos um disco homogêneo de raio R e massa M rolando sem deslizar a partir do repouso por um plano inclinado até descer uma altura h. O conteúdo é rotação de corpos rígidos e conservação de energia mecânica. Vamos usar o momento de inércia do disco I=tfrac12 M R^2 e a condição de não deslizamento v=omega R.

Passo 2

Energia inicial e final: no início temos apenas energia potencial gravitacional, e ao final temos energia cinética de translação somada à cinética de rotação. Escrevemos
Ei = M g h,
Ef = tfrac12 M v^2 + tfrac12 I,omega^2

Passo 3

Condição de não deslizamento e momento de inércia: substituímos omega=v/R e I=tfrac12 M R^2 em Ef:
Ef = tfrac12 M v^2 + tfrac12l(tfrac12 M R^2r)l(tfracvRr)^2 = tfrac12 M v^2 + tfrac14 M v^2 = tfrac34 M v^2

Passo 4

Aplicação da conservação de energia: igualamos Ei e Ef e resolvemos para v:
M g h = tfrac34 M v^2 Longrightarrow v^2 = tfrac43 g h Longrightarrow v = raiztfrac43 g h

Resposta

A velocidade final do centro de massa é vcm = raiztfrac43,g,h.

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