Questão 1: Demonstre a segunda lei de Newton da rotação. 20pts
Passo 1
A questão pede para demonstrar a segunda lei de Newton na forma rotacional, ou seja, mostrar que o resultado das torques externas em um corpo rígido é igual ao produto do momento de inércia pela aceleração angular. Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e a segunda lei de Newton para partículas.
Passo 2
Modelamos um corpo rígido como um conjunto de partículas de massa
fixas a distâncias
de um eixo de rotação. A torque da força tangencial
que age sobre a partícula
em relação ao eixo é definida por
Passo 3
Para cada partícula aplicamos a segunda lei de Newton no sentido tangencial: a força tangencial é a massa vezes a aceleração tangencial, isto é,
Passo 4
Sabendo que, em rotação, a aceleração tangencial de uma partícula está relacionada à aceleração angular
pela expressão
substituímos em
e depois em
:
Passo 5
Somamos todas as torques externas atuando no corpo rígido:
Definimos o momento de inércia do conjunto como
, obtendo assim