Questão 1: Demonstre a segunda lei de Newton da rotação. 20pts

Passo 1

A questão pede para demonstrar a segunda lei de Newton na forma rotacional, ou seja, mostrar que o resultado das torques externas em um corpo rígido é igual ao produto do momento de inércia pela aceleração angular. Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e a segunda lei de Newton para partículas.

Passo 2

Modelamos um corpo rígido como um conjunto de partículas de massa mi fixas a distâncias ri de um eixo de rotação. A torque da força tangencial Ft,i que age sobre a partícula i em relação ao eixo é definida por
taui = ri,Ft,i

Passo 3

Para cada partícula aplicamos a segunda lei de Newton no sentido tangencial: a força tangencial é a massa vezes a aceleração tangencial, isto é,
Ft,i = mi,at,i

Passo 4

Sabendo que, em rotação, a aceleração tangencial de uma partícula está relacionada à aceleração angular alpha pela expressão
at,i = ri,alpha,
substituímos em Ft,i e depois em taui:
taui = ri,(mi,ri,alpha) = mi,ri^2,alpha

Passo 5

Somamos todas as torques externas atuando no corpo rígido:
sumitaui = sumi(mi,ri^2,alpha) = l(sumi mi,ri^2r),alpha
Definimos o momento de inércia do conjunto como I=sumi mi,ri^2, obtendo assim
sumitaui = I,alpha

Resposta

sumitaui = I,alpha

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