Questão 4. Seja T: P^2(R) P^2(R), definida por
T(p(x))=p(0)+p(1)(x+x^2), forall p(x) in P^2(R)
(a) (0,2) Prove que T é uma transformação linear;
(b) (0,3) Determine o Núcleo e a Imagem de T. A seguir, para cada um deles, exiba uma base e dê sua dimensão.
(c) (0,2) T é um isomorfismo? Justifique.
(d) (0,4) Determine os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon P^2(R) to P^2(R), Tl(p(x)r)=p(0)+p(1)l(x+x^2r),
onde P^2(R) é o espaço vetorial dos polinômios de grau <=2. Precisamos usar a definição de transformação linear, bem como os conceitos de núcleo, imagem, dimensão e autovalores de uma transformação linear em espaço de dimensão finita.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tomemos p,qin P^2(R) e alphainR. Então
T(p+q) =(p+q)(0)+(p+q)(1)l(x+x^2r) =p(0)+q(0)+l(p(1)+q(1)r)l(x+x^2r)
=T(p)+T(q),
e
T(alpha p) =(alpha p)(0)+(alpha p)(1)l(x+x^2r) =alpha p(0)+alpha p(1)l(x+x^2r) =alpha,T(p)
Logo, T satisfaz linearidade em soma e escalares.

Passo 3

Para achar ker(T), resolvemos T(p)=0 (polinômio nulo). Se p(x)=ax^2+bx+c, então
T(p)(x)=c+(a+b+c)l(x+x^2r)equiv 0
implica
c=0 e a+b+c=0;Longrightarrow;a+b=0
Como c=0 e b=-a, temos p(x)=al(x^2-xr). Portanto
ker(T)=,k,x(x-1)mid kinR
e uma base é ,x(x-1), de dimensão dimker(T)=1.

Passo 4

Para a imagem, notamos que para qualquer p
T(p)(x)=p(0)cdot1+p(1)l(x+x^2r),
ou seja,
Im(T) =Span,1,;x+x^2,
e portanto dimIm(T)=2.

Passo 5

Como dim P^2(R)=3 e dimIm(T)=2<3, a aplicação não é sobrejetora (nem injetora), logo não é isomorfismo.

Passo 6

Procuramos autovalores lambda e vetores não-nulos p(x)=ax^2+bx+c tais que
T(p)=lambda p
Comparando coeficientes em
c+(a+b+c)(x+x^2)=lambda(ax^2+bx+c)
obtém-se o sistema
c(1-lambda)=0, a+b+c=lambda b, a+b+c=lambda a
Da primeira equação vêm os casos:
1. lambda=1. Então a+b+c=a e a+b+c=b dão b=-c e a=-c. Assim
p(x)=cl(1-x-x^2r), autovetor para lambda=1.
2. c=0. Então a+b=lambda a e a+b=lambda b levam a (lambda-1)^2=1, i.e.\ lambda=0 ou lambda=2.
  • Se lambda=0, então b=-a e p(x)=a(x^2-x).
  • Se lambda=2, então b=a e p(x)=a(x^2+x).
Logo os autovalores são lambda=0,1,2.

Resposta

(a) T é linear.
(b) ker(T)=Spanx(x-1), dimker(T)=1;
Im(T)=Span1,;x+x^2, dimIm(T)=2.
(c) Não é isomorfismo.
(d) Os autovalores são 0, 1 e 2.

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