Questão 4. Seja
, definida por
(a)
Prove que
é uma transformação linear;
(b)
Determine o Núcleo e a Imagem de
. A seguir, para cada um deles, exiba uma base e dê sua dimensão.
(c)
é um isomorfismo? Justifique.
(d)
Determine os autovalores de
.
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
onde
é o espaço vetorial dos polinômios de grau
. Precisamos usar a definição de transformação linear, bem como os conceitos de núcleo, imagem, dimensão e autovalores de uma transformação linear em espaço de dimensão finita.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, tomemos
e
. Então
e
Logo,
satisfaz linearidade em soma e escalares.
Passo 3
Para achar
, resolvemos
(polinômio nulo). Se
, então
implica
Como
e
, temos
. Portanto
e uma base é
, de dimensão
.
Passo 4
Para a imagem, notamos que para qualquer
ou seja,
e portanto
.
Passo 5
Como
e
, a aplicação não é sobrejetora (nem injetora), logo não é isomorfismo.
Passo 6
Procuramos autovalores
e vetores não-nulos
tais que
Comparando coeficientes em
obtém-se o sistema
Da primeira equação vêm os casos:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Logo os autovalores são
.
Resposta
(a)
é linear.
(b) ,
;
,
.
(c) Não é isomorfismo.
(d) Os autovalores são ,
e
.
(b)
(c) Não é isomorfismo.
(d) Os autovalores são