Em uma sala de 50 estudantes, 30 gostam de Estatística, 25 gostam de Programação e 10 gostam de ambas as disciplinas. Escolhendo um estudante ao acaso, determine:
A probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas.
A probabilidade de gostar de pelo menos uma das disciplinas.
Passo 1
O enunciado dá uma sala com
estudantes e as seguintes informações:
-
gostam da primeira disciplina. -
gostam da segunda disciplina. -
gostam de ambas as disciplinas.
A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao escolher um estudante ao acaso, ele goste de pelo menos uma das disciplinas?
Passo 2
Vamos traduzir as informações em termos de conjuntos (ou eventos), para ficar mais claro:
- Seja
o evento “o estudante gosta da primeira disciplina”. Então . - Seja
o evento “o estudante gosta da segunda disciplina”. Então . - A interseção
é “gosta de ambas”, e . - O total de estudantes é
.
“O estudante gosta de pelo menos uma das disciplinas” corresponde ao evento
(união de
e
). Precisamos calcular
.
Passo 3
Para contar quantos estudantes pertencem a
usamos a fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
Explicação intuitiva: se somarmos
e
estamos contando duas vezes os alunos que gostam de ambas (os da interseção), por isso subtraímos
para corrigir a dupla contagem.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números do enunciado:
Agora calculamos passo a passo:
Portanto
. Ou seja,
estudantes gostam de pelo menos uma das disciplinas.
Passo 5
Transformamos a contagem em probabilidade dividindo pelo total de
estudantes:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Como verificação alternativa (método do complemento): a probabilidade de não gostar de nenhuma é
, então a probabilidade de gostar de pelo menos uma é
. Os dois caminhos concordam — beleza!