Suponha que duas máquinas e produzem em forma independente um mesmo artigo um estudo para analisar o sistema de produção entre outras características do artigo se estudo o peso (em gramas) dos artigos e o número de artigos com peso maior de 310 gramas. Com esta finalidade foram sorteados ao acaso uma amostra de 31 artigos de máquina e 25 da máquina e obtiveram-se os seguintes resultados:
Máquina n
Peso Médio
(em gramas)
Variância
Número de artigos com peso
maior de 310 gramas
A 31 305 25,07 4
B 25 308 35,94 7
Supondo que os pesos dos artigos produzidos pelas máquinas e tem distribuição normal. Obtenha:
Um intervalo de de confiança para a proporção de artigos produzidos pela máquina A, que têm um peso maior a 310 gramas.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=31 artigos da máquina A, dos quais 4 têm peso maior que 310 g. Queremos um intervalo de confiança de 90% para a proporção verdadeira p desses artigos.

Passo 2

O estimador da proporção é
hat p = 431
Para um intervalo de confiança aproximado usamos a distribuição normal, pois nhat p e n(1-hat p) são maiores que 5? Aqui 31cdothat papprox4 e 31cdot(1-hat p)approx27, então o uso da aproximação normal é razoável.

Passo 3

O nível de confiança de 90% corresponde a alpha=0,10 e
z1-alpha/2=z0,95approx1,645

Passo 4

O erro padrão de hat p é
se(hat p)=raizhat p,(1-hat p)n =raiz431l(1-431r)31
Numericamente,
se(hat p) =raiztfrac431cdottfrac273131 approx0,0602

Passo 5

O intervalo de confiança é
hat p pm z1-alpha/2,se(hat p) = 431 pm 1,645cdot0,0602
Calculando os limites,
431approx0,1290, 1,645cdot0,0602approx0,0992,
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IC90% = l[,0,1290-0,0992,;0,1290+0,0992r] = [,0,0298,;0,2282,]

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a proporção de artigos da máquina A com peso maior que 310 g é aproximadamente
[,0,03,;0,23,]

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