Questão 4. (Indução - múltiplos de 3) Mostre, por indução em n, que 5^{n}-2^{n} é múltiplo de 3 , para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a diferença 5^{n}-2^{n} é múltiplo de 3 para todo n\in\mathbb{N}.
Aqui usaremos o princípio da indução:
  1. Verificar o caso base (geralmente n=1).
  2. Supondo a afirmação verdadeira para um k genérico (hipótese de indução), mostrar que ela vale para k+1.

Passo 2

Caso base n=1:
Calculamos
5^{1}-2^{1}=5-2=3,
e 3 é múltiplo de 3 (pois 3=3\cdot1). Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, vale
5^{k}-2^{k}=3m
para certo m\in\mathbb{Z}. Ou seja, assumimos que 5^{k}-2^{k} já é múltiplo de 3.

Passo 4

Passo indutivo: mostramos que a propriedade vale para k+1.
Partimos de
5^{k+1}-2^{k+1} =5\cdot5^{k}-2\cdot2^{k} =5\bigl(5^{k}-2^{k}\bigr)+(5-2)\,2^{k}.
Pela hipótese de indução, 5^{k}-2^{k}=3m, e além disso (5-2)2^{k}=3\cdot2^{k}. Logo
5^{k+1}-2^{k+1} =5\,(3m)+3\cdot2^{k} =3\bigl(5m+2^{k}\bigr),
o que mostra que 5^{k+1}-2^{k+1} também é múltiplo de 3.

Passo 5

Como verificamos o caso base e provamos que a validade em k implica validade em k+1, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, a diferença 5^{n}-2^{n} é múltiplo de 3.

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