Questão 4. (Indução - múltiplos de 3) Mostre, por indução em
, que
é múltiplo de 3 , para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a diferença
é múltiplo de 3 para todo
.
Aqui usaremos o princípio da indução:
Aqui usaremos o princípio da indução:
- Verificar o caso base (geralmente
). - Supondo a afirmação verdadeira para um
genérico (hipótese de indução), mostrar que ela vale para .
Passo 2
Caso base
:
Calculamos
Calculamos
e
é múltiplo de
(pois
). Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, vale
para certo
. Ou seja, assumimos que
já é múltiplo de 3.
Passo 4
Passo indutivo: mostramos que a propriedade vale para
.
Partimos de
Partimos de
Pela hipótese de indução,
, e além disso
. Logo
o que mostra que
também é múltiplo de 3.
Passo 5
Como verificamos o caso base e provamos que a validade em
implica validade em
, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo
.
Resposta
Para todo
, a diferença
é múltiplo de 3.