Questão
. Dizemos que um corpo
é algebricamente fechado quando para todo
existe um
tal que
. Mostre um polinômio sobre um corpo algebricamente fechado é irredutível se, e somente se, tem grau 1.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado.
- Temos um corpo
que é algebraicamente fechado. Isso significa que toda vez que pegamos um polinômio não-constante existe tal que . - A pergunta é: mostrar que um polinômio sobre
é irredutível se, e somente se, tem grau .
Informações relevantes que vamos usar (listadas de forma explícita):
- Definição usada de irredutível: um polinômio
é irredutível se e não existe fatoração não-trivial com e . (Polinômios constantes não contam como irredutíveis.) - Propriedade do anel
: se então divide ; isto vem do algoritmo da divisão em . - Grau satisfaz
quando não são o polinômio zero. - Em um corpo
, os polinômios de grau que são não-nulos são unidades (têm inverso multiplicativo), então multiplicar por constante não é uma fatoração “não-trivial”.
Passo 2
Primeira direção: mostrar que, se
é irredutível, então
.
- Começo supondo que
é irredutível e que . - Como
é algebraicamente fechado, o polinômio (não-constante) tem uma raiz , isto é, . - Pelo algoritmo da divisão em
podemos dividir por . Isso dá uma identidade
com
e
(constante). Avaliando em
obtemos
. Como
, segue que
.
- Portanto
com . Tomando graus,
- Se
então , e assim escrevemos como produto de dois polinômios de grau , ou seja, uma fatoração não-trivial, contradizendo que é irredutível. - Logo a hipótese
é impossível; a única possibilidade é .
Passo 3
Explicando melhor um ponto usado: por que
divide
quando
.
- Esse é um fato elementar do algoritmo da divisão em
: dividir por sempre produz resto de grau inferior a , ou seja, um número . O resto é exatamente (verificar substituindo ). Assim implica resto , logo divisão exata .
Passo 4
Segunda direção: mostrar que todo polinômio de grau
é irredutível.
- Tome
com . Então podemos escrever com (não-nulo). - Suponha que exista uma fatoração
com . Aplicando graus,
- Como as graus são inteiros não-negativos, os pares possíveis são
ou . Isto significa que um dos dois fatores tem grau , isto é, é uma constante . - Mas constantes não-nulas em
são unidades: se então e a fatoração é apenas uma multiplicação por unidade — não é uma fatoração não-trivial segundo a definição de irredutível. - Portanto não existe fatoração não-trivial de
, logo é irredutível.
Passo 5
Observações finais e tratamento de casos laterais.
- Polinômios constantes (grau
) e o polinômio zero não são considerados irredutíveis na definição que usamos. A proposição diz respeito a polinômios sobre o corpo com grau . - Reunindo as duas direções: nenhum polinômio irredutível tem grau
e todo polinômio de grau é irredutível. Assim, sobre um corpo algebraicamente fechado , os únicos polinômios irreduzíveis são exatamente os de grau .
Resposta
Um polinômio
é irreduzível se, e somente se,
.