Questão 5(2,0). Dizemos que um corpo K é algebricamente fechado quando para todo f(x) \in K[x]^{*} existe um \alpha \in K tal que f(\alpha)=0. Mostre um polinômio sobre um corpo algebricamente fechado é irredutível se, e somente se, tem grau 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos dado.
  • Temos um corpo K que é algebraicamente fechado. Isso significa que toda vez que pegamos um polinômio não-constante f(x)\in K[x] existe \alpha\in K tal que f(\alpha)=0.
  • A pergunta é: mostrar que um polinômio sobre K é irredutível se, e somente se, tem grau 1.
Informações relevantes que vamos usar (listadas de forma explícita):
  • Definição usada de irredutível: um polinômio f\in K[x] é irredutível se \deg f\ge 1 e não existe fatoração não-trivial f=gh com g,h\in K[x] e \deg g,\deg h\ge 1. (Polinômios constantes não contam como irredutíveis.)
  • Propriedade do anel K[x]: se f(\alpha)=0 então (x-\alpha) divide f(x); isto vem do algoritmo da divisão em K[x].
  • Grau satisfaz \deg(gh)=\deg g+\deg h quando g,h não são o polinômio zero.
  • Em um corpo K, os polinômios de grau 0 que são não-nulos são unidades (têm inverso multiplicativo), então multiplicar por constante não é uma fatoração “não-trivial”.

Passo 2

Primeira direção: mostrar que, se f\in K[x] é irredutível, então \deg f=1.
  • Começo supondo que f\in K[x] é irredutível e que \deg f\ge 1.
  • Como K é algebraicamente fechado, o polinômio f (não-constante) tem uma raiz \alpha\in K, isto é, f(\alpha)=0.
  • Pelo algoritmo da divisão em K[x] podemos dividir f(x) por x-\alpha. Isso dá uma identidade
f(x)=(x-\alpha)q(x)+r
com q(x)\in K[x] e r\in K (constante). Avaliando em x=\alpha obtemos f(\alpha)=r. Como f(\alpha)=0, segue que r=0.
  • Portanto f(x)=(x-\alpha)q(x) com q(x)\in K[x]. Tomando graus,
\deg f = 1 + \deg q.
  • Se \deg f>1 então \deg q\ge 1, e assim escrevemos f como produto de dois polinômios de grau \ge 1, ou seja, uma fatoração não-trivial, contradizendo que f é irredutível.
  • Logo a hipótese \deg f>1 é impossível; a única possibilidade é \deg f=1.

Passo 3

Explicando melhor um ponto usado: por que x-\alpha divide f quando f(\alpha)=0.
  • Esse é um fato elementar do algoritmo da divisão em K[x]: dividir f por x-\alpha sempre produz resto de grau inferior a 1, ou seja, um número r\in K. O resto é exatamente f(\alpha) (verificar substituindo x=\alpha). Assim f(\alpha)=0 implica resto 0, logo divisão exata f=(x-\alpha)q.

Passo 4

Segunda direção: mostrar que todo polinômio de grau 1 é irredutível.
  • Tome f(x)\in K[x] com \deg f=1. Então podemos escrever f(x)=a x + b com a\in K^{*} (não-nulo).
  • Suponha que exista uma fatoração f=gh com g,h\in K[x]. Aplicando graus,
1=\deg f = \deg g + \deg h.
  • Como as graus são inteiros não-negativos, os pares possíveis são (\deg g,\deg h)=(0,1) ou (1,0). Isto significa que um dos dois fatores tem grau 0, isto é, é uma constante c\in K^{*}.
  • Mas constantes não-nulas em K[x] são unidades: se g=c então h=c^{-1}f e a fatoração é apenas uma multiplicação por unidade — não é uma fatoração não-trivial segundo a definição de irredutível.
  • Portanto não existe fatoração não-trivial de f, logo f é irredutível.

Passo 5

Observações finais e tratamento de casos laterais.
  • Polinômios constantes (grau 0) e o polinômio zero não são considerados irredutíveis na definição que usamos. A proposição diz respeito a polinômios sobre o corpo K com grau \ge 1.
  • Reunindo as duas direções: nenhum polinômio irredutível tem grau \ge 2 e todo polinômio de grau 1 é irredutível. Assim, sobre um corpo algebraicamente fechado K, os únicos polinômios irreduzíveis são exatamente os de grau 1.

Resposta

Um polinômio f\in K[x] é irreduzível se, e somente se, \deg f=1.

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