Questão 1. Seja
anel.
(a)
Enuncie e o teorema de caracterização de subanel.
(b)
Mostre que Mostre que
é um subanel comutativo de
(a)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
-
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o teorema de caracterização de subanel (parte (a)).
- Mostrar que
é um subanel comutativo de (parte (b)).
-
O que foi dado:
-
é um anel (não é necessário assumir nada além da definição usual de anel; não vamos precisar assumir existência de unidade, a menos que a prova peça). - A definição do conjunto
está no enunciado: são os elementos de que comutam com todo elemento de .
-
Passo 2
Definições úteis (explicação do que cada palavra significa).
-
Definição de anel: dizer que
é um anel significa que é um conjunto com duas operações e tais que a multiplicaçãoé associativa e distribuída em relação à soma. (Se o anel tiver unidade, escreve-se normalmente , mas aqui essa hipótese não é necessária para a caracterização que vamos usar.) -
Definição de subanel: um subconjunto
é um subanel quando, com as operações herdadas de , também é um anel. Em linguagem prática isso significa que é fechado para as operações relevantes e contém os elementos necessários (como e negativos), de modo que as propriedades de anel se mantenham em .
Vou usar uma forma prática e muito usada do teorema de caracterização: um subconjunto
é subanel se e somente se for não vazio e fechado por subtração e por multiplicação. Agora vou enunciar isso rigorosamente e provar.
Passo 3
Enunciado do teorema de caracterização de subanel (parte (a)).
- Teorema (caracterização de subanel). Seja
um anel e . Então é um subanel de se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: -
(isto é, é não vazio); - para todo
temos (fechamento por subtração); - para todo
temos (fechamento por multiplicação).
-
Vou provar por que essas condições são equivalentes à definição de subanel.
Passo 4
Prova do teorema — direção “
” (necessidade).
- Suponha que
é um subanel de . Então é, em particular, um grupo abeliano para a soma, logo é não vazio (tem ) e é fechado por soma e por oposto. Assim, para quaisquer temos . Também, sendo subanel, é fechado por multiplicação, logo . Portanto (1), (2) e (3) valem. Essa direção é direta a partir da definição de subanel.
Passo 5
Prova do teorema — direção “
” (suficiência).
-
Agora suponha que
satisfaz (1), (2) e (3): , fechado por subtração e por multiplicação. Vou mostrar que é subanel, isto é, que com as operações herdadas é anel. - Como
, existe algum . Usando fechamento por subtração, . Assim . - Para qualquer
, usando fechamento por subtração com obtemos . Logo é fechado por opostos. - Para quaisquer
sabemos . Somando (que está em ) ao elemento obtém-se , então também é fechado por soma. (Ou, em termos diretos: soma e oposto gerados pelo fechamento por subtração.) - A multiplicação já é fechada por hipótese (3).
- As propriedades algébricas restantes (associatividade da soma e multiplicação, distributividade) são herdadas de
porque é um subconjunto com as mesmas operações. Portanto satisfaz todas as propriedades para ser um anel.
- Como
-
Conclusão:
é subanel de . Isso prova a suficiência.
Passo 6
Observações rápidas sobre variações do teorema (dicas de prova na prova).
- Observação prática útil para prova em prova de concurso/avaliação: em muitos exercícios basta mostrar que
é não vazio e que é fechado por subtração e por multiplicação. Ou então provar que contém , que é fechado por soma, por oposto e por multiplicação. Essas formas são equivalentes; escolha a que for mais rápida no exame.
Passo 7
Começando a parte (b): estratégia e dados.
-
Queremos provar que
é um subanel de e que, além disso, é comutativo (isto é, produto comutativo dentro de ). -
Pela parte (a) é suficiente mostrar que
é não vazia, que é fechada por subtração e por multiplicação. Depois mostrar que qualquer dois elementos de comutam entre si.
Passo 8
Mostrar que
é não vazio.
- Verificar que
: para todo , portanto comuta com todo . Assim , logo .
Passo 9
Fechamento por subtração: se
então
.
-
Seja
. Isso significa que, para todo , Quero mostrarpara todo . -
Calcule:Como
e pertencem ao centro, e . Substituindo: Portantocomuta com todo , isto é, .
Passo 10
Fechamento por multiplicação: se
então
.
-
Seja
. Para todo temos e . Quero mostrar . -
Calcule usando associatividade e as propriedades de comutação:Como
comuta com , . Assim E comocomuta com , . Logo Portantocomuta com todo , isto é, .
Passo 11
Concluir que
é subanel e provar que é comutativo.
-
Pelas Passos 8, 9 e 10 temos que
é não vazio, fechado por subtração e fechado por multiplicação. Pelas equivalências do teorema da parte (a), segue que é um subanel de . -
Mostrar que
é comutativo: pegue . Pela definição de , comuta com todo elemento de , em particular com . Logo Isso vale para quaisquer. Portanto a multiplicação dentro de é comutativa, ou seja, é um anel comutativo.
Passo 12
Resumo final e dica prática para prova.
-
Resumo rápido: para mostrar que um conjunto é subanel, a forma mais econômica em prova é:
- mostrar que o conjunto não é vazio (normalmente exibindo
ou ); - mostrar que é fechado por subtração;
- mostrar que é fechado por multiplicação.
- Uma vez feito isso, as propriedades de anel são herdadas e acabou-se a prova.
- mostrar que o conjunto não é vazio (normalmente exibindo
-
Dica prática: quando o conjunto é definido por uma condição de comutação (como o centro), as verificações de fechamento costumam ser rápidas porque se usa diretamente a propriedade de “comuta com todo
” e manipulações algébricas simples (associatividade e linearidade das operações).
Resposta
(a) Seja
um anel e
.
é subanel de
se, e somente se,
e, para todos
, tem-se
e
.
(b)
é um subanel de
e, além disso, é comutativo (isto é, para quaisquer
vale
).