Questão 1. Seja A anel.
(a) (0,5) Enuncie e o teorema de caracterização de subanel.
(b) (1,0) Mostre que Mostre que \mathcal{Z}(A)=\{x \in A: x y=y x \forall y \in A\} é um subanel comutativo de A

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Enunciar o teorema de caracterização de subanel (parte (a)).
    2. Mostrar que \mathcal{Z}(A)=\{x\in A:\;xy=yx\\ \forall y\in A\} é um subanel comutativo de A (parte (b)).
  • O que foi dado:
    • A é um anel (não é necessário assumir nada além da definição usual de anel; não vamos precisar assumir existência de unidade, a menos que a prova peça).
    • A definição do conjunto \mathcal{Z}(A) está no enunciado: são os elementos de A que comutam com todo elemento de A.

Passo 2

Definições úteis (explicação do que cada palavra significa).
  • Definição de anel: dizer que A é um anel significa que A é um conjunto com duas operações + e \cdot tais que
    (A,+)\text{ é um grupo abeliano},é
    a multiplicação \cdot é associativa e distribuída em relação à soma. (Se o anel tiver unidade, escreve-se normalmente 1\in A, mas aqui essa hipótese não é necessária para a caracterização que vamos usar.)
  • Definição de subanel: um subconjunto S\subseteq A é um subanel quando, com as operações herdadas de A, S também é um anel. Em linguagem prática isso significa que S é fechado para as operações relevantes e contém os elementos necessários (como 0 e negativos), de modo que as propriedades de anel se mantenham em S.
Vou usar uma forma prática e muito usada do teorema de caracterização: um subconjunto S\subseteq A é subanel se e somente se for não vazio e fechado por subtração e por multiplicação. Agora vou enunciar isso rigorosamente e provar.

Passo 3

Enunciado do teorema de caracterização de subanel (parte (a)).
  • Teorema (caracterização de subanel). Seja A um anel e S\subseteq A. Então S é um subanel de A se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
    1. S\neq\varnothing (isto é, S é não vazio);
    2. para todo x,y\in S temos x-y\in S (fechamento por subtração);
    3. para todo x,y\in S temos xy\in S (fechamento por multiplicação).
Vou provar por que essas condições são equivalentes à definição de subanel.

Passo 4

Prova do teorema — direção “ \Rightarrow” (necessidade).
  • Suponha que S é um subanel de A. Então S é, em particular, um grupo abeliano para a soma, logo S é não vazio (tem 0) e é fechado por soma e por oposto. Assim, para quaisquer x,y\in S temos x-y=x+(-y)\in S. Também, sendo S subanel, é fechado por multiplicação, logo xy\in S. Portanto (1), (2) e (3) valem. Essa direção é direta a partir da definição de subanel.

Passo 5

Prova do teorema — direção “ \Leftarrow” (suficiência).
  • Agora suponha que S\subseteq A satisfaz (1), (2) e (3): S\neq\varnothing, fechado por subtração e por multiplicação. Vou mostrar que S é subanel, isto é, que S com as operações herdadas é anel.
    1. Como S\neq\varnothing, existe algum a\in S. Usando fechamento por subtração, a-a=0\in S. Assim 0\in S.
    2. Para qualquer x\in S, usando fechamento por subtração com 0 obtemos 0-x=-x\in S. Logo S é fechado por opostos.
    3. Para quaisquer x,y\in S sabemos x-y\in S. Somando y (que está em S) ao elemento x-y obtém-se x = (x-y)+y\in S, então S também é fechado por soma. (Ou, em termos diretos: soma e oposto gerados pelo fechamento por subtração.)
    4. A multiplicação já é fechada por hipótese (3).
    5. As propriedades algébricas restantes (associatividade da soma e multiplicação, distributividade) são herdadas de A porque S é um subconjunto com as mesmas operações. Portanto S satisfaz todas as propriedades para ser um anel.
  • Conclusão: S é subanel de A. Isso prova a suficiência.

Passo 6

Observações rápidas sobre variações do teorema (dicas de prova na prova).
  • Observação prática útil para prova em prova de concurso/avaliação: em muitos exercícios basta mostrar que S é não vazio e que é fechado por subtração e por multiplicação. Ou então provar que contém 0, que é fechado por soma, por oposto e por multiplicação. Essas formas são equivalentes; escolha a que for mais rápida no exame.

Passo 7

Começando a parte (b): estratégia e dados.
  • Queremos provar que \mathcal{Z}(A)=\{x\in A:\;xy=yx\\ \forall y\in A\} é um subanel de A e que, além disso, \mathcal{Z}(A) é comutativo (isto é, produto comutativo dentro de \mathcal{Z}(A)).
  • Pela parte (a) é suficiente mostrar que \mathcal{Z}(A) é não vazia, que é fechada por subtração e por multiplicação. Depois mostrar que qualquer dois elementos de \mathcal{Z}(A) comutam entre si.

Passo 8

Mostrar que \mathcal{Z}(A) é não vazio.
  • Verificar que 0\in\mathcal{Z}(A): para todo y\in A, 0\cdot y = 0 = y\cdot 0,portanto 0 comuta com todo y. Assim 0\in\mathcal{Z}(A), logo \mathcal{Z}(A)\neq\varnothing.

Passo 9

Fechamento por subtração: se a,b\in\mathcal{Z}(A) então a-b\in\mathcal{Z}(A).
  • Seja a,b\in\mathcal{Z}(A). Isso significa que, para todo y\in A,
    a y = y a \quad\text{e}\quad b y = y b.
    Quero mostrar (a-b)y = y(a-b) para todo y\in A.
  • Calcule:
    (a-b)y = a y - b y.
    Como a e b pertencem ao centro, a y = y a e b y = y b. Substituindo:
    (a-b)y = y a - y b = y(a-b).
    Portanto (a-b) comuta com todo y, isto é, a-b\in\mathcal{Z}(A).

Passo 10

Fechamento por multiplicação: se a,b\in\mathcal{Z}(A) então ab\in\mathcal{Z}(A).
  • Seja a,b\in\mathcal{Z}(A). Para todo y\in A temos b y = y b e a y = y a. Quero mostrar (ab)y = y(ab).
  • Calcule usando associatividade e as propriedades de comutação:
    (ab)y = a(by).
    Como b comuta com y, by = yb. Assim
    (ab)y = a(yb) = (a y) b.
    E como a comuta com y, a y = y a. Logo
    (ab)y = (y a) b = y (a b).
    Portanto (ab) comuta com todo y, isto é, ab\in\mathcal{Z}(A).

Passo 11

Concluir que \mathcal{Z}(A) é subanel e provar que é comutativo.
  • Pelas Passos 8, 9 e 10 temos que \mathcal{Z}(A) é não vazio, fechado por subtração e fechado por multiplicação. Pelas equivalências do teorema da parte (a), segue que \mathcal{Z}(A) é um subanel de A.
  • Mostrar que \mathcal{Z}(A) é comutativo: pegue a,b\in\mathcal{Z}(A). Pela definição de \mathcal{Z}(A), a comuta com todo elemento de A, em particular com b. Logo
    ab = ba.
    Isso vale para quaisquer a,b\in\mathcal{Z}(A). Portanto a multiplicação dentro de \mathcal{Z}(A) é comutativa, ou seja, \mathcal{Z}(A) é um anel comutativo.

Passo 12

Resumo final e dica prática para prova.
  • Resumo rápido: para mostrar que um conjunto é subanel, a forma mais econômica em prova é:
    1. mostrar que o conjunto não é vazio (normalmente exibindo 0 ou 1);
    2. mostrar que é fechado por subtração;
    3. mostrar que é fechado por multiplicação.
    • Uma vez feito isso, as propriedades de anel são herdadas e acabou-se a prova.
  • Dica prática: quando o conjunto é definido por uma condição de comutação (como o centro), as verificações de fechamento costumam ser rápidas porque se usa diretamente a propriedade de “comuta com todo y” e manipulações algébricas simples (associatividade e linearidade das operações).

Resposta

(a) Seja A um anel e S\subseteq A. S é subanel de A se, e somente se, S\neq\varnothing e, para todos x,y\in S, tem-se x-y\in S e xy\in S.
(b) \mathcal{Z}(A)=\{x\in A:\;xy=yx\\ \forall y\in A\} é um subanel de A e, além disso, é comutativo (isto é, para quaisquer a,b\in\mathcal{Z}(A) vale ab=ba).

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